Potenciação: definição e operações

Neste post vamos fazer falar sobre Potenciação, apresentando suas definições e propriedades!

Definição de Potenciação

Definimos a operação de Potenciação como uma forma de simplificar a operação de uma sequência de multiplicações. Por exemplo:

2 * 2 = 2²
3 * 3 = 3² = 9
2 * 2 * 2 = 2³ = 8
3 * 3 * 3 = 3³ = 27

Generalizando, podemos escrever: a * a * a * (n vezes) * a = aⁿ

O número a é chamado de Base da Potência.
O número n é chamado de Expoente da Potência.

Leitura

aⁿ lê-se: a elavado a n-ésima potência ; a elevado à n

Quando n = 2, diz-se que o número está elevado ao quadrado;
Quando n = 3, diz-se que o número está elevado ao cubo;
Quando n = 4, 5 …., diz-se que o número está elevado à quarta potência, quinta potência e assim por diante.

Propriedades a partir da Definição:

a¹ = a (qualquer número elevado ao expoente 1 é igual a ele mesmo)
a⁰ = 1 (qualquer número elevado à potencia de 0, o resultado é 1)
1ⁿ = 1 (o número 1 elevado à qualquer potência o resultado é sempre 1)
0ⁿ = 0 (o número 0 elevado à qualquer potência o resultado é sempre 0)

Potência com Expoente Inteiro Positivo

Sejam m e n dois números pertencentes ao conjunto dos números Naturais (ℕ) e a e b pertencentes aos números Reais (ℝ), temos:

a^m*aⁿ=a^m+n

Multiplicação de Potências de mesma Base: Conserva-se a Base e soma-se os Expoentes.
Perceba que se tivermos: aⁿ*a=aⁿ⁺¹

a^m/aⁿ=a^m-n

Divisão de Potências de mesma Base: Conserva-se a Base e subtrai-se os Expoentes.

$\mathbf{(a^m)^{n} = a^{m*n}}$

Potência de uma Potência: Conserva-se a Base e multiplica-se os Expoentes.

$\mathbf{(a*b)^{m} = a^m*b^m}$

A Potência do Produto é o Produto das Potências.

$\mathbf{\left ( \frac{a}{b} \right )^n = \frac{a^n}{b^n}}$

A Potência da Divisão (fração) é a Divisão (fração) das Potências.

Exemplos:

a) $\mathbf{2^{2}*2^{3}=2^{2+3}=2^{5} = 32}$

b) $\mathbf{\frac{4^{4}}{4^{2}} = 4^{4-2} = 4^{2} = 16}$

c) $\mathbf{(3^2)^{2} = 3^{2*2} = 3^{4} = 81}$

d) $\mathbf{(2*3)^{2} = 2^2*3^2 = 4*9 = 36}$

e) $\mathbf{\left ( \frac{3}{4} \right )^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}}$

Potência com Expoente Inteiro Negativo

Por definição, toda potência com expoente inteiro negativo é o inverso da potência com expoente positivo:
$\mathbf{a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}}$
E valem as mesmas propriedades vistas para o expoente inteiro positivo, ok?

Exemplos:

a) $\mathbf{2^{-2} = \frac{1}{2^{2}} = \frac{1}{4}}$

b) $\mathbf{\left (\frac{2}{3} \right )^{-2} = \left (\frac{1}{2/3} \right )^{2} = \left (\frac{3}{2} \right )^{2} = \frac{9}{4}}$

Potências de Base 10

Vamos acompanhar esses exemplos:

$\inline 10^{2}$ = 10*10 = 100
$\inline 10^{3}$ = 10*10*10 = 100
$10^{4}$ = 10*10*10*10 = 10.000
Generalizando: $\inline 10^{\mathbf{n}}$ = “1” seguido de n zeros

Observe que o número de zeros após o “1” é igual ao expoente da potência de 10.
Outros casos:

0,1 = $\inline \frac{1}{10} = 1*10^{-1}$
0,01 = $\inline \frac{1}{100} = 1*10^{-2}$
0,001 = $\inline \frac{1}{1000}=1*10^{-3}$

Observe que o número de casas decimais é igual ao negativo do expoente da potência de 10.

Notação Científica

A notação científica permite escrever números usando potências de base 10. Um número expresso em notação científica está escrito como o produto de dois números reais: um número real pertencente ao intervalo [1 ; 9] e uma potência de 10.
Exemplos:

200 = 2*100 = 2* $\inline 10^{2}$
3.500 = 3,5*1.000 = 3,5* $\inline 10^{3}$
0,0045 = 4,5/1000 = 4,5* $10^{-3}$
1.420.000 = 1,42* $10^{6}$

Além de ser uma forma mais sintética de escrever números grandes, sua principal utilidade é a de fornecer a ideia da ordem de grandeza de um número que, se fosse escrito por extenso, não daria essa informação de modo tão imediato. E sua maior aplicação é melhor representar grandezas de valores muito grandes (como na Astronomia, por exemplo) ou de valores muito pequenos (como na Química, por exemplo).
Exemplos:
a) A distância média da Terra até o Sol é de 149 milhões e 600 mil km:
149.600.000 km = 1.496* $\inline 10^{5}$ = 1,496* $10^{3}*10^{5}$ = 1,496* $\inline 10^{8}$ km

b) A circunferência da Terra no Equador é de aproximadamente 40 mil km:
40.000 km = 40* $\inline 10^{3}$ = 4*10* $\inline 10^{3}$ = 4* $\inline 10^{4}$ km
c) A massa de um átomo de Oxigênio é de 2,7* $10^{-23}$ g
d) A massa de um átomo de Hidrogênio é de 1,6* $\inline 10^{-24}$ g

Tranquilo? Acompanhou o esse post sobre Potenciação? Espero que sim!
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