Radiciação: definição e operações

Neste post, vamos falar sobre Radiciação, assunto muito importante da Matemática. Para compreendê-lo, é importante ter conhecimento em Potenciação.

Radiciação

Definição

Sejam e a e b dois números maiores ou iguais a 0, pertencentes aos Reais ( $\inline \mathbb{R}$ ) e n pertencente ao conjunto dos números Naturais ( $\inline \mathbb{N}$ ) (n $\inline \neq$ 0), temos:

$\mathbf{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}} = b \Leftrightarrow a = b^{n}}$

A Radiciação (operação com radicais) é a operação inversa da Potenciação.
Observação: O símbolo ( $\inline \dpi{120} \Leftrightarrow$ ) lê-se “se e somente se”.
Onde:

a é o radicando
n é o índice
b é a raiz
O símbolo “ $\mathbf{\sqrt{ }}$ ” é o radical

Exemplos a partir da definição:

$\inline \mathbf{\sqrt[\mathbf{2}]{\mathbf{4}} = 2 \Leftrightarrow 4=2^{2}}$
$\inline \mathbf{\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{27}} = 3 \Leftrightarrow 27=3^{3}}$
$\mathbf{\sqrt[\mathbf{5}]{\mathbf{32}} = 2 \Leftrightarrow 32=2^{5}}$

Leitura

Lê-se $\mathbf{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}}}$ : raiz n-ésima de a.

Quando n = 2, diz-se que a raiz é quadrada;
Quando n = 3, diz-se que a raiz é cúbica;
Quando n = 4, 5 …., diz-se que a raiz é quarta, quinta e assim por diante.

Propriedades a partir da Definição:

$\mathbf{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}^{\mathbf{n}}} = a}$

A raiz n-ésima de um número elevado a n-ésima potência é o próprio número.

$\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}*{\mathbf{b}}}=\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}}*\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{b}}$ ;

A raiz do produto é o produto das raízes.

$\sqrt[\mathbf{n}]{\frac{\mathbf{a}}{{\mathbf{b}}}}=\frac{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}}}{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{b}}}$

A raiz da divisão (fração) é divisão (fração) das raízes.

$\inline \left ( \sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}^{\mathbf{k}}} \right )^{\mathbf{m}} = \sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}^{\mathbf{k*m}}}$

Em uma raíz índice n elevado à uma potência m, a potência m entra no radical multiplicando a potência k do radicando.
Perceba que se k = 1, $\dpi{120} \left (\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}} \right )^{\mathbf{m}}=\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}^{\mathbf{m}}}$ !

$\sqrt[\mathbf{n}]{\sqrt[\mathbf{m}]{\mathbf{a}}} = \sqrt[\mathbf{m*n}]{\mathbf{a}}$

Raíz da raíz – A raíz com índice n da raíz com índice m é a raiz com índice m*n.

$\inline \mathbf{\sqrt[\mathbf{n}]{\mathbf{a}^{\mathbf{m}}} = a^{\frac{m}{n}}}$

Toda raíz pode ser expressa como uma potência com expoente fracionário!

Exemplos:

a) $\mathbf{\sqrt[\mathbf{2}]{\mathbf{3}^{\mathbf{2}}} = 3}$
b) $\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}*{\mathbf{2}}}=\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}}*\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{2}}$
c) $\dpi{120} \sqrt[\mathbf{2}]{\frac{\mathbf{4}}{{\mathbf{9}}}}=\frac{\sqrt[\mathbf{2}]{\mathbf{4}}}{\sqrt[\mathbf{2}]{\mathbf{9}}}=\frac{\mathbf{2}}{{\mathbf{3}}}$
d) $\dpi{120} \left ( \sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}^{\mathbf{2}}} \right )^{\mathbf{2}} = \sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}^{\mathbf{2*2}}}=\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{3}^{\mathbf{4}}}$
e) $\dpi{120} \sqrt[\mathbf{2}]{\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{5}}} = \sqrt[\mathbf{2*3}]{\mathbf{5}}=\sqrt[\mathbf{6}]{\mathbf{5}}$
f) $\dpi{120} \sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{4}^{\mathbf{2}}}=\mathbf{4}^{\frac{\mathbf{2}}{\textbf{3}}}$

Simplificação de Radicais

Como calcular a $\sqrt{32}$ ? Simples, só temos que decompor em fatores primos o radicando e lembrar da propriedade de radical do produto, para efetuar a simplificação.
32 = 2*2*2*2*2 = $2^{5}$ , então: $\sqrt{32} = \sqrt{2^{5}} = \sqrt{2*2^{4}} = \sqrt{2}*\sqrt{2^{4}}=\sqrt{2}*2^{2} = \mathbf{4\sqrt{2}}$
Observação: Quando não escrevemos índice no radical, significa que o índice é dois (2) (raiz quadrada).
Mais um exemplo. Como calcular a $\sqrt{0,01}$ ?
0,01 = 1* $10^{-2}$ , então: $\sqrt{0,01}=\sqrt{1*10^{-2}}=\sqrt{1}*\sqrt{10^{-2}}=1*10^{-1}=\textbf{0,1}$
Outro ecemplo: $\sqrt{288}$ ?
288 = $2^{5}*3^{2}$ , então: $\sqrt{288} = \sqrt{2^{5}*3^{2}}=\sqrt{2*2^{4}*3^{2}}=\sqrt{2}*\sqrt{2^{4}}*\sqrt{3^{2}}=\sqrt{2}*2^{2}*3 = \mathbf{12\sqrt{2}}$

Operação de Soma e Subtração com Radicais

Como fica a operação $3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{2}$ ?
Bom, se os radicandos são iguais, fica assim: $3\sqrt{2}+2\sqrt{2}-\sqrt{2}$ = $\sqrt{2} \left (3+2-1 \right ) = 4\sqrt{2}$
E como fica $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ?
Fica assim mesmo. Não podemos fazer nada quando os radicandos são diferentes em relação à soma e subtração. $\sqrt{2}+\sqrt{3}\neq \sqrt{5}$ { Nunca faça isso 🙂 }!

Multiplicação de Radicais

Relembre as propriedades no post anterior!
a) $\sqrt{3}*\sqrt{3} = \sqrt{3*3} = \sqrt{3^{2}} = 3$
b) $\sqrt[3]{2}*\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2*4} = \sqrt[3]{8} = 2$
Obs: Outra forma de fazer: sabendo que $\sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{3}}$ e $\sqrt[3]{4} = 2^{\frac{2}{3}}$ , então, $\sqrt[3]{2}*\sqrt[3]{4}=2^{\frac{1}{3}}*2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=2^{\frac{3}{3}}=2$

Racionalização de Denominadores

Quando um radical aparece no denominador de uma fração, é conveniente que transformemos esse denominador para um número racional, ou seja, transformar um radical num número racional! Por exemplo, como racionalizar a expressão $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ?
Fazemos assim: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1*\sqrt{3}}{\sqrt{3}*\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
Multiplicamos a fração pelo radical do denominador, com isso formamos uma fração equivalente à inicial (fração fica inalterada) e transformamos um radical em um número racional.
E quando temos $\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ ?
Fazemos assim: $\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1*(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)*(\sqrt{2}-1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$
Nesses casos, em que o denominador é um fator composto por uma soma de parcelas (uma parcela racional e outra irracional), se for uma soma de parcelas, multiplicamos por um novo fator composto pela diferença entre essas mesmas parcelas e vice-versa.
Outro exemplo $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ ?
Fica: $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{1*(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})*(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}$ $= \sqrt{3}-\sqrt{2}$

Faça Você!

Racionalize os seguintes radicais:
a) $\frac{2}{\sqrt{5}-1}$
b) $\frac{4}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

Tranquilo? Acompanhou esse resumo teórico sobre radiciação? Espero que sim!
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Fonte de Inspiração: Dante, Luiz Roberto Matemática : contexto & aplicações – 2. ed. – São Paulo : Ática, 2013.