Reta Numérica e Classificação dos Números

O objetivo deste post foi fazer uma revisão sobre a Reta Numérica e a Classificação dos Números. Este estudo é muito importante para os conceitos de Plano Cartesiano e Par Ordenado!
Inicialmente para tratar de reta numérica, vamos considerar somente os números inteiros ( $\mathbb{Z}$ ).

Reta Númerica

A Reta Numérica pode ser definida como uma linha horizontal com pontos igualmente espaçados, onde a cada ponto corresponde um número inteiro. Por convenção, o sentido crescente da reta é para o lado direito, conforme o sentido da seta.

Do lado esquerdo do zero (0), ficam os números inteiros negativos.

Números Opostos

Dizemos que um número é oposto de outro quando eles estão em lados opostos na reta numérica, mas à mesma distância do zero. Por exemplo, -1 e 1 são opostos; -3 e 3 são opostos e assim por diante. Em termos práticos, basta trocar o sinal do número para ter o seu oposto.
Ok, entendi! Mas, entre um número e outro não cabe nada? Cadê as frações? Ótima pergunta!

Frações e Decimais na Reta Numérica

Além dos números inteiros e seus opostos, a reta numérica contém as frações e decimais positivos e negativos. Estes são posicionados entre os números inteiros, em intervalos que refletem o tamanho da fração. Por exemplo, entre 0 e 1 podemos posicionar as frações (1/4), (1/2) e (2/3) da seguinte forma:

De uma maneira mais geral, podemos ter:

Vamos fazer uma exemplo:

Exemplo 1: Identifique quais os número em cada caso:

a) A (R: -4)
b) B (R: -2,5)
c) C (R: 0)
d) D (R: 3,5)
e) E (R: 4)

Números Naturais, Inteiros e Racionais

Os Números Naturais são os números do conjunto $\mathbb{N}$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … }, os quais foram e são usados para contar objetos do mundo real. O zero não é considerado um número natural.
Os Números Inteiros são os números do conjunto $\mathbb{Z}$ = {… , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }, os quais incluem os números naturais e seus opostos e também o zero.
Os Números Racionais ( $\mathbb{Q}$ ) são os números que podem ser expressos em forma de fração, ou seja, podem ser expressos na forma $\frac{a}{b}$ , com a condição que b $\neq$ 0. Por exemplo, 4 pode ser expresso como $\frac{4}{1}$ ; -1,3333… pode ser expresso como $\frac{4}{3}$ .

Portanto, todos os números Naturais e Inteiros são Racionais, mas nem todos os Racionais são Inteiros e nem todos os Inteiro são Naturais!

Podemos resumir essa classificação usando Conjuntos, da seguinte forma:

Números Irracionais

Os Números Irracionais são números com casas decimais (não são Inteiros e nem Naturais), que não se repetem (não são dízimas periódicas) e não podem ser expressos em forma de fração. Portanto, estão fora das 3 classificações vistas anteriormente.
Por exemplo, faça esse cálculo $\sqrt{3}$ na sua calculadora e veja que o resultado recai nessa definição. Portanto, $\sqrt{3}$ é um Número Irracional. Na Reta Numérica, posicionando por exemplo $\sqrt{2}$ (1,4142…) e $\sqrt{3}$ (1,7320…) fica assim:

Pergunta 1: Classifique cada número nos casos abaixo entre Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais:

a) -3; 2,5; 7; $\sqrt{5}$
b) -1,4142…; 7,75 ; 11 ; -1
c) 37 ; -1,125 ; -1,7320…; 2,333…

Números Reais

Os Números Reais ( $\mathbb{R}$ ) são definidos como o conjunto formado pelo conjuntos dos Números Racionais e dos Números Irracionais. Portanto:

todo número natural (1,2,3…) é Real;
todo número inteiro (…,-1, 0, 1,…) é Real;
todo número racional (…, -1/2, -1/4, 0, 1/2, 1/4 ,…) é Real;
todo número irracional também é Real (…, – $\sqrt{3}$ , – $\sqrt{2}$ , 0, $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , …)!

Em forma de Diagrama de Venn, temos:
Tranquilo? Espero que sim!
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