Resumo de fisica: Campo elétrico - Lei de Gauss - aprofundamento

Campo elétrico - Lei de Gauss - Fluxo Elétrico

A lei de Gauss foi proposta por Carl Gauss em 1835 e descreve um dos fenômenos mais comuns da natureza: os fluxos de energia. A lei diz que a característica da matéria, carga ou massa, por exemplo, é diretamente proporcional ao fluxo de campo gerado por essa matéria localizada no espaço:

$C=\varepsilon _0\cdot\Phi _0$

com C sendo a carga ou massa da matéria interna à superfície gaussiana de controle A, ε0 é a permissividade do meio onde se localiza a matéria C e Φ o fluxo através da área A.

Apliquemos para o acaso gravitacional:

$M=\varepsilon _0\cdot\Phi _0$ logo $\frac{M}{\varepsilon _0}=\int g\cdot dA$

como o campo gravitacional para uma distância até M fixa é constante, o mesmo não depende da área da gaussiana, logo, g sai da integral, e dA é a área da casca esférica de raio d, logo temos:
$g\cdot4\cdot\pi \cdot d^2=\frac{M}{\varepsilon _0}$
logo $g=\frac{M}{\varepsilon _0\cdot4\cdot\pi \cdot d^2}$ mas $\frac{1}{4\cdot\pi \cdot\varepsilon _0}=G$ , constante gravitacional do meio, logo, substituindo, temos que:

$g=\frac{G\cdot M}{d^2}$

QUE É, NA VERDADE A EQUAÇÃO DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL DE ISAAC NEWTON...

Campo elétrico - Lei de Gauss - Definição

LEI DE GAUSS DOS FLUXOS ELÉTRICOS:
A lei de Gauss foi proposta por Carl Gauss em 1835 e descreve um dos fenômenos mais comuns da natureza: os fluxos de energia. A lei diz que a característica da matéria, carga ou massa, por exemplo, é diretamente proporcional ao fluxo de campo gerado por essa matéria localizada no espaço. Analisando o caso do campo elétrico:
$Q=\varepsilon _0\cdot\Phi =\int E\cdot dA$ logo $\Phi =\int E\cdot dA=\frac{Q}{\varepsilon _0}$
com Q sendo a carga interna à superfície gaussiana de controle A, $\varepsilon _0$ é a permissividade elétrica do meio onde se localiza a carga Q e $\Phi$ o fluxo do campo elétrico vetorial E através da área A, e dA é o diferencial de área A, ou seja, uma área mínima, tão mínima quanto queiramos ou a qualidade das medições permitam.

Uma imagem contendo edifício, aeronaveDescrição gerada automaticamente

Como o campo elétrico para uma distância fixa d até Q puntiforme é constante, o campo não depende da área da gaussiana, que é uma esfera de raio d, logo, E sai da integral, e $\int dA$ é a área total da casca esférica de raio d. Assim, temos:
$\int E\cdot dA=\frac{Q}{\varepsilon _0}$ o que leva a: $E\cdot4\cdot\pi \cdot d^2=\frac{Q}{\varepsilon _0}$
logo $E=\frac{Q}{4\cdot\pi \cdot d^2\cdot\varepsilon _0}$ mas $\frac{1}{4\cdot\pi \cdot \varepsilon _0}=K$ , constante eletrostática do meio, logo, substituindo, temos que:
$E=\frac{K\cdot Q}{d^2}$
que é a própria equação do campo elétrico coulombiano.

Campo elétrico - Lei de Gauss - Aplicações

$Q=\varepsilon _0\cdot\Phi =\int E\cdot dA$ logo $\Phi =\int E\cdot dA=\frac{Q}{\varepsilon _0}$
1. CAMPO EM UM PONTO DO ESPAÇO PRÓXIMO A UMA LINHA RETILÍNEA INFINITA DE CARGAS ELÉTRICAS DISTRIBUÍDAS UNIFORMEMENTE:
Vamos supor que a densidade linear de cargas vale $\lambda =\Delta Q/\Delta L$ . Aplicando a lei de Gauss para uma gaussiana Γ (gama) cilíndrica, que tem sua base e sua tampa perpendiculares ao fio retilíneo de cargas elétricas. O Comprimento do cilindro é l e o raio da base e da tampa vale r, logo temos:

Como o campo elétrico E é o mesmo para distâncias iguais a d e o as linhas do campo são perpendiculares ao fio, isto é, não cruzam a base e a tampa, gerando fluxo elétrico nulo. Portanto, o fluxo que temos é pelo próprio corpo da gaussiana, radialmente em relação ao fio. O campo sai da integral por se constante e a integral da área é a área total lateral do cilindro, logo temos:
$\int E\cdot dA=\frac{Q}{\varepsilon _0}$ logo: $E\cdot 2\cdot\pi \cdot r\cdot l=\frac{\lambda \cdot l}{\varepsilon _0}$ logo temos que o campo em um ponto a uma distância r do fio vale: $E=\frac{\lambda }{2\cdot \pi \cdot\varepsilon _0\cdot r}$
2. CAMPO EM UM PONTO DO ESPAÇO PRÓXIMO A UM PLANO INFINITO DE CARGAS ELÉTRICAS DISTRIBUÍDAS UNIFORMEMENTE: