Resumo de matematica: Sistemas de Equações Lineares II

Sistemas Homogêneos

Os sistemas homogêneos de equações são aqueles em que as equações possuem apenas zero como termo independente, por exemplo:

$\left\{\begin{matrix} x-2y+3z=0\\ x+y-3z=0\\ 3x-y+z=0 \end{matrix}\right.$

É fácil perceber que (0, 0, 0) é uma solução para este sistema. Não é coincidência. Qualquer que seja o sistema homogêneo, a solução com zero para todas as incógnitas sempre será uma solução, ou seja, os sistemas homogêneos são sempre possíveis. Com isso, quando usamos a Regra de Cramer em um sistema homogêneo, se o determinante principal é diferente de zero, este sistema é possível e determinado, sendo (0, 0, ..., 0) sua única solução, enquanto que se o determinante principal é igual a zero, o sistema é possível e indeterminado, já que é sempre possível o sistema homogêneo, e uma de suas soluções é (0, 0, ..., 0).

Regra de Cramer

A Regra de Cramer, de maneira geral, ajuda-nos a dizer se um sistema é possível determinado usando o determinante principal. Porém, quando temos que decidir entre sistema possível indeterminado e impossível, fica mais difícil. Vejamos como resolver o exemplo:

Para que valor de “a”, o sistema $\left\{\begin{matrix} x+y=1\\ 2x+2y=a \end{matrix}\right.$ é indeterminado?

O determinante principal neste caso é igual a zero, pois a matriz dos coeficientes das incógnitas possui duas colunas iguais. Portanto, o sistema pode ser indeterminado ou impossível. Pela primeira equação, podemos escrever $y=1-x$ , e substituindo este valor na segunda equação, ficamos com
$2x+2(1-x)=a$
que nos dá $a=2$ . Perceba que se a for diferente de 2, o sistema será possível, pois chegaremos a um absurdo na tentativa de resolvê-lo, mas se $a=2$ o sistema será possível indeterminado.

Sistemas lineares não quadrados

Um sistema linear pode ser quadrado, quando o número de incógnitas é igual ao número de equações, ou não quadrado, quando o número de incógnitas é diferente do número de equações.

No caso de sistemas com o número de incógnitas menor que o número de equações, deve-se utilizar apenas o número suficiente de equações, ou seja, um número de equações que seja igual ao número de incógnitas, resolvendo um sistema com estas equações. Após a determinação da solução, deve-se testá-la na equação ou equações que “ficaram de fora”. Caso a solução funcione, o sistema é possível determinado e a sua solução é a que já havia sido encontrada para apenas algumas equações, mas se não funcionar, o sistema é impossível, ou seja, não possui solução. Por exemplo, no sistema

$\left\{\begin{matrix}x+2y=4 \\ 2x-3y=5\\ 3x+5y=6 \end{matrix}\right.$

deve-se utilizar apenas duas das três equações (quaisquer duas). Ao encontrar sua solução, ela deve ser testada na equação que não foi utilizada.

Sistemas com o número de incógnitas maior que o número de equações

No caso de sistemas com o número de incógnitas maior que o número de equações, a quantidade de informações (equações) que temos do sistema acaba sendo insuficiente para encontrarmos uma solução única, ou seja, estes sistemas NÃO podem ser possíveis determinados. O caso mais comum é que os sistemas sejam possíveis e indeterminados. Vejamos um exemplo. Determine o conjunto solução do sistema

$\left\{\begin{matrix}x+y+z=6 \\ y-z=-1 \end{matrix}\right.$

Usando a segunda equação, encontramos $y=z-1$ , ou seja, o valor de y em função de z. Usando, agora, a primeira equação e substituindo o valor encontrado para y, temos:

$x+y+z=6$
$x+(z-1)+z=6$
$x=7-2z.$

Fazendo $z=\alpha$ , com $\alpha\, \epsilon\, \mathbb{R}$ , obtemos a solução do sistema em função de :
$S=\left \{ (7-\alpha , \alpha -1, \alpha ) \right \}$ .