Resumo de matematica: Divisibilidade I

Números Naturais (N)

$\mathbb{N} = \{\ 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...\}$

$\mathbb{N}^* = \{1; 2; 3; 4; 5; ...\}$
(Naturais não nulos)

OBS

1. Sucessor e Antecessor

Seja n um número natural, tem-se que n – 1 e n + 1 são, respectivamente, antecessor e sucessor de n, com n ≠ 0.

2. Paridade

Número Par: 2n, com n natural.
Número Ímpar: 2n + 1, com n natural.

Números Inteiros (Z)

$\mathbb{Z} = \{...; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; ...\}$

$\mathbb{Z}^* = \{...; - 3; - 2; - 1; 1; 2; 3; ...\}$

OBS

1. Oposto de um número ou simétrico de um número

É o número que guarda a mesma distância do zero assim como o próprio número.

Ex: 5 e – 5 ou – 18 e 18.

2. Módulo ou Valor absoluto

É a distância de um número ao número zero.

Ex: |– 5| = 5 ou |8| = 8

Divisão nos naturais (N)

Dividir o natural D pelo natural d, com $d \neq 0$ , significa determinar os naturais q e r, tais que $D = d.q + r$ , com $0 \leq r < d$ .

Nesse dispositivo, chamado Algoritmo da divisão ou Divisão Euclidiana, temos o dividendo (D), divisor (d), quociente (q) e o resto (r).

OBSERVAÇÕES

Quando $r = 0$ , diremos que a divisão é exata ou que D é divisível por d, escrevendo a relação $D = d.q$ .
A afirmação “D é divisível por d” equivale a dizer que “d divide D” e denota-se d/D.

1.1 Divisores de um número a → D(a)

É o conjunto formado pelos inteiros que dividem a.

Exemplos

$D(2) = \{\pm 1; \pm 2\}$

$D(9) = \{\pm 1; \pm 3; \pm 9\}$

1.2 Múltiplos de um número a → M(a)

É o conjunto formado pelos inteiros que a divide.

Exemplos

$M(5) = \{0; \pm 5; \pm 10; \pm 15;...\}$

$M(7) = \{0; \pm 7; \pm 14; \pm 21;...\}$

Divisibilidade por 1

O critério de divisibilidade por 1 é o mais trivial, visto que todo número inteiro é divisível por 1.

Divisibilidade por 2

Um número inteiro é divisível por 2 caso ele seja par, ou seja, todos os números cujo último algarismo é 0, 2, 4, 6 ou 8.

Divisibilidade por 6

Todos os números que são divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo, são divisíveis por 6.

Divisibilidade por 8

Todo número terminado em 000 ou se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8, então esse número será divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Se a soma de todos os algarismos de um certo número é divisível por 9, então esse número é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Todos os números terminados em 0 são divisíveis por 10.

Números Primos

Definição 1

É o conjunto formado por números que possuem apenas dois divisores naturais.

Ex: a) O número 2 é primo, pois seus divisores são 1 e 2.

b) O número 7 é primo, pois seus divisores são 1 e 7.

c) O número 6 não é primo, pois seus divisores são 1, 2, 3 e 6.

Definição 2

É o conjunto formado por números que possuem apenas quatro divisores inteiros.

Ex: a) O número 2 é primo, pois seus divisores são ± 1 e ± 2.

b) O número 7 é primo, pois seus divisores são ± 1 e ± 7.

c) O número 6 não é primo, pois seus divisores são ± 1, ± 2, ± 3 e ± 6.

Chamaremos de Número Composto ou Número Múltiplo quando o mesmo possuir mais de quatro divisores inteiros. Por exemplo, o número 6 é composto.

OBSERVAÇÕES

O número 1 não é primo.
O número 2 é o único primo par.

Teorema Fundamental da Aritmética

Todo número natural maior que 1 ou é primo ou se escreve de modo único como um produto de números primos.

Fatoração Numérica

Fatorar é o mesmo que decompor o número em fatores primos, isto é, escrever um número através da multiplicação de números primos. Na fatoração utilizamos os números primos obedecendo a uma ordem crescente de acordo com as regras de divisibilidade em razão do termo a ser fatorado.

Observe a fatoração dos números a seguir:

a) 24 = 2 x 2 x 2 x 3
b) 10 = 2 x 5
c) 52 = 2 x 2 x 13
d) 112 = 2 x 2 x 2 x 2 x 7
e) 600 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5

Determinação dos divisores naturais de um número

A determinação dos divisores de um número natural pode ser realizada seguindo algumas etapas:

1ª) Fatora-se o número;
2ª) Traça-se uma vertical ao lado dos números primos encontrados na fatoração;
3ª) Coloca-se o número 1 (divisor universal) na linha superior ao primeiro número primo encontrado na fatoração;
4ª) Multiplica-se os fatores primos da fatoração já escritos começando pelo número 1 já colocado e os escreve ao lado do fator multiplicado, não escrevendo os repetidos.

ATENÇÃO

Para determinar todos os divisores de um número, deve-se incluir os simétricos de todos os números obtidos nesse processo.

Quantidade de divisores naturais de um número

A quantidade de divisores naturais de um número é calculada multiplicando todos os expoentes encontrados na fatoração, acrescidos de uma unidade.

ATENÇÃO

Para determinar a quantidade de todos os divisores de um número, duplica-se o valor calculado por esse processo.