Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum

Por: Aline Ribeiro

 

1. Máximo divisor comum (MDC): O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais é o maior número que é divisor de todos esses números. 

Para calcular o MDC basta multiplicar os fatores primos comuns, cada um com o menor expoente que apresenta nas formas fatoradas de

cada um dos números dados. 

 

Exemplo 1: Determine o MDC de 153 e 1734. Sabemos da fatoração de cada um desses números: 

1734 = 3² . 17

153 = 2 . 3 . 17²

 

Para determinar o MDC basta multiplicar os fatores primos comuns de menor expoente, então:

MDC (153, 1734) = 3 . 17 = 51

 

Exemplo 2: O piso retangular de uma sala, com 8,75 m de comprimento e 4,20 m de largura, deve ser coberto com ladrilhos quadrados. Admitindo-se que

não haverá perda de material e que será utilizado o menor número de ladrilhos inteiros, determine a quantidade de ladrilhos que serão colocados.

 

Antes de determinar a quantidade de ladrilhos é preciso descobrir as dimensões dele. Para isso iremos utilizar o máximo divisor comum, pois os ladrilhos

precisam ter comprimento máximo, para que a quantidade seja a mínima, além disso o problema dá a ideia de repartir (considere a dimensão total do

piso e que você irá repartir em pequenos quadrados, que são os ladrilhos).  Para começar o cálculo de MDC vamos transformar as medidas do piso

de metros para centímetros (1 m = 100 cm), só para termos números inteiros.

8,75 m = 875 cm

4,20 m = 420 cm 

 

Feito isso, iremos fatorar o 875 e o 420.

                    

 

Por fim vamos calcular o MDC:

875 = 5³ . 7

420 = 2² . 3 . 5 . 7

MDC (875, 420) =  5¹ . 7¹ = 35

 

Desse modo, temos que os ladrilhos têm dimensões 35 cm x 35 cm. Agora sim, podemos determinar quantos ladrilhos serão calculados:

875 : 35 = 25

420 : 35 =  12

12 x 25 = 300 

 

Serão utilizados 300 ladrilhos de 35 cm x 35 cm. 

 

2. Mínimo múltiplo comum (MMC): O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais é o menor número, excluindo o zero, que é múltiplo desses

números. Para calcular o MMC basta multiplicar os fatores primos comuns e não comuns, cada um com o maior expoente que apresenta nas formas

fatoradas de cada um dos números dados. 

 

Exemplo 1: Determine o MMC de 153 e 1734. Sabemos da fatoração de cada um desses números: 

1734 = 3² . 17

153 = 2 . 3 . 17²

 

Para determinar o MMC basta multiplicar os fatores primos comuns e não comuns, cada um com o menor expoente, então:

MMC (153, 1734) = 2 . 3² . 17² = 5.202

 

Exemplo 2: Um ônibus chega a um terminal rodoviários a cada 4 dias. Um segundo ônibus chega ao terminal a cada 6 dias e um terceiro, a cada 7 dias.

Numa ocasião, os três ônibus chegaram ao terminal no mesmo dia. Determine a próxima vez em que os três ônibus chegarão juntos novamente ao terminal.

 

Esse é um problema clássico de mínimo múltiplo comum pois, como queremos saber a próxima vez em que os ônibus chegarão juntos, então temos que

determinar a quantidade mínima de dias para  que isso aconteça. Além disso, o problema dá a ideia de múltiplo (quantos dias a frente).

Vamos então fatorar o 4, 6 e 7. 

 

                                   

 

Por fim, vamos calcular o MMC:

4 = 2²

6 = 2 . 3

7 = 7

MMC (4, 6, 7) = 2² . 3 . 7 = 84

 

Então os ônibus só chegarão juntos ao terminal depois de 84 dias.

 

Observação 1: Para algumas pessoas o conceito de MMC e de MDC é um pouco confuso e se confunde em alguns casos. Para ficar bem claro a diferença,

o MMC sempre vai dar a ideia de múltiplo, de uma quantidade maior do que a que tem, de algo a frente. Além disso ele sempre está associado

à quantidade mínimo, menor quantidade. Já o MDC, tem sempre a ideia de repartir em partes menores, dividir e está sempre associado a

quantidade máxima, maior possível.

 

Observação 2: O produto do MMC pelo MDC de dois ou mais números é sempre igual ao produto desses números. 

MMC (a,b) . MDC (a,b) = a . b