Resumo de matematica: Conjuntos Numéricos - Irracionais e Reais

4. Conjunto dos Números Irracionais (Q’)
 

Há mais de 2000 anos, os matemáticos gregos ficaram intrigados. Pitágoras, quando aplicou o teorema que leva o seu nome num triângulo retângulo isósceles de catetos de medida unitária, esperava encontrar um número racional para a medida da hipotenusa, mas não foi o que aconteceu. Eles perceberam que esse número () era tal que seu quadrado valia 2, o que era impossível, pois nenhum número racional satisfazia isso. Esse fato gerou uma grande polêmica na época. 

 

O número cuja representação decimal infinita não é periódica é chamado número irracional.

Q´= 

 

5. Conjunto dos Números Reais (R)

 

É o conjunto formado pela união dos números racionais com os números irracionais.

 

R = {x | x é racional ou x é irracional} = Q Q´

 

INTERVALOS REAIS 

Nem sempre é possível enumerar todos os elementos de um conjunto numérico, mesmo que tal conjunto seja finito.
 

a) {x ∈ N / – 2 < x ≤ 3} = {0; 1; 2; 3}

b) {x ∈ Z / – 2 < x ≤ 3} = {- 1; 0; 1; 2; 3}

c) {x ∈ R / – 2 < x ≤ 3} = ]- 2; 3] 
 

Surge assim a necessidade de representar tais conjuntos através de intervalos reais.

INTERVALOS PRÓPRIOS
 

• FECHADO [a; b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}

 

• ABERTO ]a; b[ = (a; b) = {x ∈ R / a < x < b}

 

 

• ABERTO À DIREITA [a; b[ = [a; b) = {x ∈ R / a ≤ x < b}

 

 

• ABERTO À ESQUERDA ]a; b] = (a; b] = {x ∈ R / a < x < b}

 

 

INTERVALOS IMPRÓPRIOS 

 

• [a; + ∝ [ = [a; + ∝) = {x ∈ R /  x > a}

 

• ]a; + ∝[ = (a; + ∝) = {x ∈ R / x > a}

 

• ]-∝; a] = (-∝; a] = {x ∈ R / x < a }

 

• ]-∝; a[ = (-∝; a) = {x ∈ R / x < a}

 

• ]-∝; +∝) = (-∝; +∝) = {x ∈ R}

 

 

 

Fechamento de um conjunto 

 

Diremos que um conjunto é fechado para uma operação matemática se, ao escolhermos dois números quaisquer desse conjunto, o resultado sempre pertencerá a esse conjunto, ou seja:

Seja x, y  A e uma operação matemática definida como “Δ”. Essa operação “Δ” está definida no conjunto A se, e somente se, x Δ y = z, tal que z  A.

A exemplo dessa discussão, tem-se que o conjunto dos naturais (N) estão definidas apenas as operações de adição e multiplicação. Assim, quaisquer que sejam os dois naturais x e y, (x + y)    N e (x . y)   N.

No conjunto N não está definido as operações de subtração e divisão.