Resumo de matematica: Frações

Frações

Por: Aline Ribeiro

1. Números racionais e frações: Os números racionais surgiram da necessidade do homem de representar quantidades que não eram inteiras.

Uma exemplificação disso é determinar a quantidade que cada filho irá receber de um terreno deixado pelo pai. Até então esse problema não poderia

ser solucionado com os números naturais, mas com os racionais sim. O número racional é um número representado como uma razão e sempre

deriva de uma divisão.

A razão de a por b (a dividido por b) pode ser representada da seguinte forma:

O denominador de uma fração indica a quantidade de partes iguais que o inteiro foi dividido e o numerador indica quantas partes do inteiro foram utilizadas.

Exemplo 1: Considere a barra abaixo:

Ela será dividida em cinco partes iguais:

Nesse caso o denominador será cinco. Agora tome três pedaços dessa barra:

Com isso, o numerador será três e a fração pode ser escrita como 3/5.

1.1. Frações equivalentes: Duas ou mais frações são ditas equivalentes quando elas representam a mesma quantidade de uma grandeza.

Exemplo 1: Considere as frações: 1/2, 2/4 e 4/8. Elas podem ser representadas da seguinte forma:

Observe a representação de cada uma dessas frações. Pode-se perceber que todas elas representam a mesma parte do inteiro, que nesse caso é a metade.

Com isso podemos dizer que 1/2, 2/4 e 4/8 são frações equivalentes.

Para obter frações equivalentes basta multiplicar o denominador e o numerador por um mesmo número.

Exemplo 2: Considere agora a fração 1/3, tem-se que:

$\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{2}{6}$ $\frac{1\cdot 3}{3\cdot 3} = \frac{3}{9}$

Com isso temos que 1/3, 2/6 e 3/9 são frações que representam a mesma parte do inteiro e, portanto, são frações equivalentes entre si.

1.2. Classes de equivalência: Uma classe de equivalência é um conjunto de frações que são múltiplas de uma mesma fração.

Exemplo 1: Considere a fração 1/2, a classe de equivalência de 1/2 é:

$\frac{1}{2} = \left \{ \frac{1}{2},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{6},\ \frac{4}{8},\ \frac{5}{10},\ \frac{6}{12},\ \frac{7}{14}\ \cdot \cdot \cdot \right \}$

Exemplo 2: Considere a fração 1/3, a classe de equivalência de 1/3 é:

$\frac{1}{3} = \left \{ \frac{1}{3},\ \frac{2}{6},\ \frac{3}{9},\ \frac{4}{12},\ \frac{5}{15},\ \frac{6}{18},\ \frac{7}{21}\ \cdot \cdot \cdot \right \}$

2. Números mistos: Um número misto nada mais é do que um número inteiro seguido de uma fração, deixando evidente a parte inteira e a

parte fracionária do número.

Exemplo 1: O número $1\ \frac{5}{7}$ é um número misto.Observe como é evidente a parte inteira e a parte fracionária dele:

Nesse caso o número possui um inteiro e cinco sétimos do inteiro.

Exemplo 2: O número $3\ \frac{2}{9}$ também é um número misto. Dessa forma:

O número possui três inteiros e dois nonos do inteiro.

2.1. Extraindo inteiros: Toda fração imprópria (Fração em que o numerador é maior ou igual ao denominador) pode ser transformada em um número misto.

Para isso basta efetuar a divisão e evidenciar o resto.

Exemplo 1: Transformar a fração 7/4 em um número misto. Dividindo 7 por 4 obtém:

Daí sabe-se que a fração possui 1 inteiro. Como sobrou 3 na divisão, então são 3 partes do inteiro, que nesse caso é 4. Desse modo, a fração

pode ser escrita como $1\ \frac{3}{4}$ .

Exemplo 2: Transformar a fração 13/3 em um número misto. Dividindo 13 por 3 obtém:

Daí sabe-se que a fração possui 4 inteiros. Como sobrou 1 na divisão, então é 1 parte do inteiro, que nesse caso é 3. Desse modo, a fração

pode ser escrita como $4\ \frac{1}{3}$ .

2.2. Transformando o número misto em fração: Existem dois métodos mais usuais de fazer essa transformação. O primeiro deles é feito através da

soma, observe o exemplo abaixo:

Exemplo 1: Considere o número misto $2\ \frac{2}{5}$ , sabe-se que esse número possui 2 inteiros mais 2/5, então:

$2\cdot \frac{5}{5} \ +\ \frac{2}{5}\ =\ \frac{2\cdot 5}{5}+\ \frac{2}{5}\ =\ \frac{12}{5}$

O segundo método é mais direto, para fazer a transformação basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado com o numerador.

Feito isso é só colocar o resultado sobre o denominador.

Exemplo 2: Considere o número misto $4\ \frac{2}{3}$ . Para transformá-lo em uma fração, basta:

$4\ \frac{2}{3} = \frac{3\cdot 4+2}{3}\ =\frac{14}{3}$