Resumo de matematica: Teoria dos Conjuntos - Complementar de um conjunto e Número de elementos da união

9. Complementar de um conjunto

Dados os conjuntos A e B, tais que B $\small \subset$ A, chama-se complementar de B em relação à A o conjunto A – B.

$C_{A}^{B}=A-B$ , $B\subset A$

Exemplos

a) A = {0, 1, 2} e B = {0, 1} → $C_{A}^{B}=$ = A - B = {2}

b) A = {2, 3, 4} e B = {0, 2} → $C_{A}^{B}$ é indefinido.

Representa-se o complementar do conjunto A em relação ao conjunto universo (U), ou seja, U – A, por:

$C_{U}^{A}$ = U - A = $\overline{A}$

Em diagrama, $C_{U}^{A}$ , temos:

10. Número de elementos da união

Dados dois conjuntos não vazios A e B, tem-se que o número de elementos da união de A por B é dado por:

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

Caso especial: Se A $\cap$ B = { }, tem-se que n(A $\cup$ B) = n(A) + n(B)

De forma análoga, tem-se que a união entre os conjuntos A, B e C é dado pela relação:

n(A $\cup$ B $\cup$ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A $\cap$ B) – n(A $\cap$ C) – n(B $\cap$ C) + n(A $\cap$ B $\cap$ C)

11. Propriedades da união e interseção

P1. A $\cup$ B = B $\cup$ A e A $\cap$ B = B $\cap$ A (comutativa)
P2. (A $\cup$ B) $\cup$ C = A $\cup$ (B $\cup$ C) e (A $\cap$ B) $\cap$ C = A $\cup$ (B $\cup$ C) (associativa)
P3. A $\cap$ (B $\cup$ C) = (A $\cap$ B) $\cup$ (B $\cap$ C) e A $\cup$ (B $\cap$ C) = (A $\cup$ B) $\cup$ (B $\cup$ C) (distributiva)
P4. A $\subset$ B $\Leftrightarrow$ A $\cup$ B = A e A $\cap$ B = B
P5. $(A\cup B)^C=A^C \cap B^C$ e $(A \cap B)^C = A^C \cup B^C$ (Leis de Morgan)