Resumo de matematica: Teoria dos Conjuntos - Complementar de um conjunto e Número de elementos da união

9. Complementar de um conjunto

Dados os conjuntos A e B, tais que B $\small \subset$ A, chama-se complementar de B em relação à A o conjunto A – B.

C $\small \frac{B}{A}$ = A - B, B $\small \subset$ A

Exemplos

a) A = {0, 1, 2} e B = {0, 1} → C $\small \frac{B}{A}$ = A - B = {2}

b) A = {2, 3, 4} e B = {0, 2} → C $\small \frac{B}{A}$ é indefinido.

Representa-se o complementar do conjunto A em relação ao conjunto universo (U), ou seja, U – A, por:

C $\small \frac{A}{U}$ = U - A = $\overline{A}$

Em diagrama, C $\frac{A}{U}$ , temos:

10. Número de elementos da união

Dados dois conjuntos não vazios A e B, tem-se que o número de elementos da união de A por B é dado por:

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)

Caso especial: Se A B = { }, tem-se que n(A B) = n(A) + n(B)

De forma análoga, tem-se que a união entre os conjuntos A, B e C é dado pela relação:

n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) – n(B C) + n(A B ∩C)

11. Propriedades da união e interseção

P1. A B = B A e A B = B A (comutativa)
P2. (A B) C = A (B C) e (A B) C = A (B C) (associativa)
P3. A (B C) = (A B) (B C) e A (B C) = (A ∪ B) (B C) (distributiva)
P4. A B A ∪ B = A e A B = B
P5. A ∪BC=ACBC e A BC=ACBC (Leis de Morgan)