Resumo de matematica: Teoria dos Conjuntos - Operações com conjuntos

8. Operações com conjuntos

 

a) União 
 

Dados os conjuntos A e B, chama-se de A U B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

 

A U B = {x; x ϵ A ou x ϵ B}

 

Exemplos

a) A = {0, 1, 2} e B = {3, 4} → A U B = {0, 1, 2, 3, 4}

b) A = {2, 3, 4} e B = {0, 2} → A U B = {0, 2, 3, 4}
 

Propriedades da união

P1) A ⋃ A = A;

P2) A ⋃ ϕ = A; 

P3) A ⋃ U = U; 

P4) A ⋃ B = B ⋃ A (comutativa);

P5) A ⋃ (B ⋃ C) = (A ⋃ B) ⋃ C (associativa).

Em diagrama, A ⋃ B, temos:

b) Intersecção

 

 Dados os conjuntos A e B, chama-se de A ∩ B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

 

A ∩ B = {x; x ϵ A e x ϵ B}
 

Exemplos
 

a) A = {2, 3, 4} e B = {0, 2, 3} → A ∩ B = {2, 3}

b) A = {0, 1, 2} e B = {3, 4} → A ∩ B = {   } = ϕ
 

Os conjuntos A e B são conjuntos disjuntos nesse último exemplo.

 

Propriedades da Intersecção

 

P1) A ∩ A = A;

P2) A ∩ ϕ = ϕ;

P3) A ∩ U = A; 

P4) A ∩ B = B ∩ A (comutativa);

P5) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativa).

 

Em diagrama, A ∩ B, temos:

c) Diferença

 Dados os conjuntos A e B, chama-se de A – B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, mas não pertencem ao conjunto B.
 

A – B = {x; x ϵ A e x ϵ B}

 

Exemplos 

a) A = {2, 3, 4} e B = {0, 2, 3} → A – B = {4}

b) A = {0, 1, 2} e B = {3, 4} → A – B = A

 

Em diagrama, A – B, temos:

10. Número de elementos da união
 

Dados dois conjuntos não vazios A e B, tem-se que o número de elementos da união de A por B é dado por:

n(A B) = n(A) + n(B) – n(A  B)

Caso especial: Se A B = {     }, tem-se que n(A B) = n(A) + n(B)

 

De forma análoga, tem-se que a união entre os conjuntos A, B e C é dado pela relação:

n(A  B   C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A    B) – n(A    C) – n(B   C) + n(A  ∩  B ∩ C)

 

11. Propriedades da união e interseção

 

P1. A   B = B    A e A  ∩  B = B  ∩ A (comutativa)

P2. (A    B)  C = A   (B C) e (A  ∩  B)  ∩  C = A   (B C) (associativa)

P3. A ∩ (B C) = (A  ∩ B)    (B ∩ C) e A   (B  ∩  C) = (A ∪ B) (B C) (distributiva)

P4. A   B   A ∪ B = A e A ∩ B = B

P5. (A ∪ B)^C=A^C ∩ B^C e (A ∩ B)^C=A^C  B^C (Leis de Morgan)