Resumo de matematica: Plano Cartesiano e Pares ordenados
Plano Cartesiano
O Plano Cartesiano (nome dado em homenagem ao matemático e filósofo francês – René Descartes) é umsistema de referência formado por duas retas numéricas, uma horizontal e outra vertical, que se cruzam num ponto chamado de Origem (O) formando um ângulo entre si de 90º (portanto, são perpendiculares).
René Descartes (1596-1650)
O eixo horizontal é denominado de eixo das abscissas, ou eixo X. Os valores positivos estão em ordem crescente do lado direito em relação à Origem O. Por consequência, os valores negativos estão do lado esquerdo.
O eixo vertical é denominado de eixo das ordenadas, ou eixo Y. Os valores positivos estão em ordem crescente na direção para cima em relação à Origem O. Por consequência, os valores negativos estão na direção para baixo.
A figura 1 descreve bem esse conceito:
Figura 1 – Plano Cartesiano
Quadrantes do Plano Cartesiano
Notamos na figura 1 que surgiram quatro (4) regiões no Plano. Essas regiões são chamadas de quadrantes. A Figura 2 ilustra melhor:
Figura 2 – Plano Cartesiano e seus Quadrantes.
A região com valores positivos para ambos x e y é chamada de 1º Quadrante (IQ);
A região com valores negativos para x e positivos y é chamada de 2º Quadrante (IIQ);
A região com valores negativos para ambos x e y é chamada de 3º Quadrante (IIIQ);
A região com valores positivos para x e negativos y é chamada de 4º Quadrante (IVQ);
Coordenadas de um Ponto – Par Ordenado
E qual a função do plano cartesiano? Como já foi dito, o plano cartesiano é um sistema de referência usado para descrever a posição de pontos em um plano. Para tanto, faz uso do conceito de coordenadas ou pares ordenados.
Um par ordenado ou coordenada de um ponto é uma estrutura do tipo P: (x ; y), onde a primeira posição é a quantidade de unidades em relação à Origem O do ponto P no eixo das abscissas (X); a segunda posição é a quantidade de unidades em relação à Origem O do ponto P no eixo das ordenadas (Y) .
Exemplo 1: Exemplo de pares ordenados:
a) P: (4 ; 5)
b) Q: (-2 ; -3)
c) R: (0 ; -3,5)
Atenção: Num par ordenado a ordem em que os números aparecem importa. Dessa maneira (1 ; 2) é diferente de (2 ; 1). Não é por outro motivo que o par é chamado de ordenado!
Exemplo 2: Imagine que você more na origem O do sistema. Para chegar na casa do seu amigo, você caminha três (3) quadras para a direita e depois duas (2) quadras para cima. Supondo que cada unidade dos eixos X e Y sejam medidas em quadras, como localizar a casa do seu amigo em relação à sua?
Figura do Exemplo 2.
Pela figura do exemplo 2, note que a casa do seu amigo está perfeitamente localizada em relação a você (origem do sistema). Chamando a casa do seu amigo de Ponto A, temos então: A: (3 ; 2)
Exemplo 3: Localize no plano cartesiano os seguintes pontos:
a) A: (2 ; 3)
b) B: (-3 ; 1)
c) C: (3 ; -2)
Figura do Exemplo 3.
Comentários:
Para localizar o ponto A (2 ; 3), note que a abscissa é +2 (duas unidades para a direita no eixo X); ao se chegar nesse ponto, trace uma paralela ao eixo Y (linha pontilhada em vermelho), no sentido para cima, medindo três (3) unidades, uma vez que a ordenada do ponto A é +3.
Para localizar o ponto B (-3 ; 1), note que a abscissa é -3 (três unidades para a esquerda no eixo X); ao se chegar nesse ponto, trace uma paralela ao eixo Y (linha pontilhada em vermelho), no sentido para cima, medindo uma (1) unidade, uma vez que a ordenada do ponto A é +1.
Para localizar o ponto C (3 ; -2), note que a abscissa é +3 (três unidades para a direita no eixo X); ao se chegar nesse ponto, trace uma paralela ao eixo Y (linha pontilhada em vermelho), no sentido para baixo, medindo duas (2) unidades, uma vez que a ordenada do ponto A é -2.
Mais alguns exemplos
Exemplo 4: Se (x ; y) = (1 ; 3), quanto vale a expressão 2x + y – 1?
Resposta: Para que dois pares ordenados sejam iguais, as abcissas e ordenadas devem ser iguais!
Portanto, x = 1 e y = 3 2x + y – 1 = 2*1 + 3 – 1 = 4
Exemplo 5: Se (x ; y) = (-2 ; 0), quanto vale a expressão 3x – 2y?
Resposta: x = -2 e y = 0 3x – 2y = 3*(-2) + 2*0 = -6 + 0 = -6