Resumo de matematica: Números Complexos I

Número Complexo: introdução e definição. (Conceitos Iniciais - Forma Algébrica)

O conjunto dos números complexos é formado por, além de todos os números reais, que já conhecemos, números imaginários, que são números que envolvem raiz com índice par de número negativo. Representamos os números complexos por

$z=a+bi$ , sendo que $a, b\, \epsilon \,R$ .

Perceba que a representa a parte real do número, enquanto que $bi$ representa a parte imaginária, sendo $i=-1$ .
A adição ou subtração de números complexos é muito simples: “parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária”. Por exemplo, na adição de $3 + i$ com $2 + 6i$ , temos $(3 + 2) + (1 + 6)i = 5 + 7i$ . Já para a multiplicação, devemos aplicar a distributiva, ou seja,

$(3+i)\cdot (2+6i)=6+18i+2i+6i^2=6+20i+6(-1)=6+20i-6=20i$ .

Forma algébrica. Operações básicas na forma algébrica. (Operações na Forma Algébrica)

O conjugado de um número complexo $z=a+bi$ , com $a, b\, \epsilon \,R$ , é $z=a-bi$ . E este conjugado é muito importante na divisão de números imaginários, pois devemos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, por exemplo, na divisão $\frac{2+i}{2-2i}$ , devemos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado de $2-2i$ , que é $2+2i$ . Assim, ficamos com:

$\frac{2+i}{2-2i}\cdot \frac{2+2i}{2+2i}=\frac{4+4i+2i+2i^2}{4-4i^2}=\frac{4+6i-2}{4-4(-1)}=\frac{2+6i}{8}=\frac{1+3i}{4}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}i$

Para resolvermos potências do tipo $i^n$ , com $n\,\epsilon \,\mathbb{N}$ , basta dividirmos $n$ por 4 e substituirmos $n$ pelo resto desta divisão. Por exemplo, $i^{75}=i^3=-i$ , pois o resto da divisão de 75 por 4 é 3.

Exercícios Resolvidos

As potências da unidade imaginária $"i"$ seguem um padrão:

$i^0=i^4=i^8=i^{12}=\cdots =1\\ i^1=i^5=i^9=i^{13}=\cdots =i \\ i^2=i^6=i^{10}=i^{14}=\cdots =-1 \\ i^3=i^7=i^{11}=i^{15}=\cdots =-i$

Percebe-se que as potências da primeira linha são múltiplos de 4; as potências da segunda linha são os naturais que, na divisão por 4, deixam resto 1; no caso da terceira linha, as potências são os naturais que, na divisão por 4, deixam resto 2; enquanto que na última linha, tem-se os naturais que deixam resto 3 na divisão por 4. Com isso, quando deseja-se calcular uma potência de $"i"$ , basta dividir o expoente por 4 e substituí-lo pelo resto da divisão, por exemplo, $i^{83}=i^3=-i$ , pois 83 deixa resto 3 na divisão por 4.

Exercícios Resolvidos

Normalmente, estuda-se polinômios e equações polinomiais apenas com coeficientes reais, mas estes coeficientes também podem ser imaginários, mantendo-se muitas (mas nem todas) das características, propriedades e métodos de solução.
Por exemplo, para resolvermos a equação $x^2+2ix-5=0$ , basta usarmos a fórmula resolutiva de equação do 2º grau:

$x=\frac{-2i\pm \sqrt{(2i)^2-4\cdot 1\cdot (-5)}}{2\cdot 1}$

$x=\frac{-2i\pm \sqrt{-4+20}}{2}$

$x=\frac{-2i\pm4}{2}$

$x=-i\pm2$

Portanto, as raízes da equação são $x_1=-i+2$ e $x_2=-i-2$ .