Resumo de matematica: Estudo Geral das Funções I

Introdução e propriedades gerais

Definição: Dados dois conjuntos $A$ e $B$ , não vazios, uma relação $f$ de $A$ em $B$ recebe o nome de função de $A$ em $B$ se, somente se, para todo $x\,\epsilon\, A$ existe só um $y\,\epsilon\, B$ tal que $(x,y)\,\epsilon\, f$ .

Exemplos

a) A relação $R_1$ é uma função.

b) A relação $R_2$ não é uma função, pois existe um elemento de $A$ que não está relacionado com nenhum elemento de $B$ .

c) A relação $R_3$ não é uma função, pois existe um elemento de $A$ que está relacionado com dois elementos de $B$ .

Observe as seguintes funções as seguir:

a) A função $f$ está definida de $A$ em $B$ .

Assim,

$f(0) = 1$
$f(2) = 3$
$f(4) = 5$
$f(6) = 7$
$f(8) = 9$

b) Ao programar uma fórmula na planilha de cálculo, Arthur pretendia que ela fornecesse o dobro de um valor dado. Mas na elaboração da fórmula, ele cometeu um erro, conforme mostram os primeiros resultados que apareceram na tabela:

Considerando x o número de entrada e y o número de saída da fórmula digitada por Arthur, logo, a modelagem da relação pode ser obtida da seguinte forma:

$y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$
$y = 2 \cdot 1 + 3 = 5$
$y = 2 \cdot 2 + 3 = 7$
$y = 2 \cdot 3 + 3 = 9$
$y = 2 \cdot 4 + 3 = 11$
$y = 2 \cdot 5 + 3 = 13$
$...$
$y = 2 \cdot x + 3$

Introdução e propriedades gerais - Outros exemplos

Considere os conjuntos $A = \left \{ 0, 1, 2 \right \}$ e $B = \left \{ 1, 2,3,4 \right \}$ , determine:

a) $A\,x\,B$ (Produto Cartesiano)

$A\,x\,B=\left \{ (0;1),(0;2),(0;3),(0;4),(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(2;1),(2;2),(2;3),(2;4) \right \}$

b) $R=\left \{ (x,y)\,A\,x\,B/y=x-1 \right \}$ (Relação Binária)

Para $x=0\rightarrow y=0-1\rightarrow y=-1,(0\,;-1)\,\epsilon\, R$
Para $x=1\rightarrow y=1-1\rightarrow y=0,(1\,;0)\,\epsilon\, R$
Para $x=2\rightarrow y=2-1\rightarrow y=1,(2\,;1)\,\epsilon\, R$

$R=\left \{ (0,-1),(1,0),(2,1) \right \}$

c) $f=\left \{ (x,y)\,A\,x\,B/y=x+1 \right \}$ (Função)

Para $x=0\rightarrow y=0+1\rightarrow y=1,(0\,;1)\,\epsilon\, R$
Para $x=1\rightarrow y=1+1\rightarrow y=2,(1\,;2)\,\epsilon\, R$
Para $x=2\rightarrow y=2+1\rightarrow y=2,(2\,;3)\,\epsilon\, R$

$f=\left \{ (0;1),(1;2),(2,3) \right \}$

Nota
Dados dois conjuntos $A$ e $B$ , não vazios, uma relação $f$ de $A$ em $B$ recebe o nome de função de $A$ em $B$ se, somente se, para todo $x\,\epsilon\, A$ existe só um $y\,\epsilon\, B$ tal que $(x,y)\,\epsilon \,f$ .

OBSERVAÇÕES

I) Toda função é uma relação, mas a recíproca não é verdadeira;

II) As funções são representadas por letras latinas minúsculas: $f,g,h,...$ ;

III) O domínio de uma função é sempre o próprio conjunto de partida;
$D(f)=A$

IV) Sendo uma função definida de A em B, usamos a seguinte notação:

$f:A\rightarrow B$
(lê-se: f é uma função de A em B)

Exemplo:

$f:\left \{ 0;1;2 \right \}\rightarrow \left \{ 1;2;3;4 \right \}$
$x\rightarrow x+1$

Observe que o valor de $y$ depende do valor de $x$ , ou seja, $y$ é uma função de $x$ .

$y=f(x)$

Dizemos que $x$ é a variável independente e $y$ , a variável dependente.

Retomando o exemplo anterior, temos que:

$D(f)=A=\left \{ 0;1;2 \right \}$

$CD(f)=B=\left \{ 1;2;3;4 \right \}$

$Im(f)=B=\left \{ 1;2;3 \right \}$

Valor numérico

O valor numérico de $"a"$ , para $a\,\epsilon \,\mathbb{R}$ , na função $f(x)$ , é o valor obtido quando substitui-se $x$ por a e realizam-se os devidos cálculos.

Exemplos
a) Sendo $f:\left \{ 1,2,3 \right \}\rightarrow \left \{ 0,1,2,3,4,5 \right \}$ , definida por $f(x)=2x-1$ , temos que:

$f(1)=2\cdot 1-1=1$ ;
$f(2)=2\cdot 2-1=3$ ;
$f(3)=2\cdot 3-1=5$ .

Portanto, os valores numéricos de $1,\,2$ e $3$ são, respectivamente, $1, \,3$ e $5$ .

b) Considere a função $f$ , definida de $A$ em $B$ , temos:

Analisando o diagrama de flechas podemos concluir que:

a) $f(0)=1$ f) $f(x)=2$ , para $x=1$
b) $f(1)=2$ g) $f(x)=4$ , para $x=2$ ou $x=3$
c) $f(2)=4$   h) $f(f(1))=f(2)=4$
d) $f(3)=4$ i) $f(x)<3$ , para $x=0$ ou $x=1$
e) $f(4)=5$ j) $f(x)=3$ , $x$ não está definido em $A$ .

c) Sendo $f(x)=ax^3+b$ uma função real, tal que $f(0)=2$ e $f(1)=1$ . Determine o valor de $b^a$ .

$f(0)=a\cdot 0^3+b\Leftrightarrow a\cdot 0^3+b=2\Rightarrow b=2$

$f(1)=a\cdot 1^3+b\Leftrightarrow a\cdot 1^3+2=1\Rightarrow a=-1$

Assim, $b^a=2^{-1}=0,5$

Valor numérico - Outros exemplos

$(a\,;\,b)\,\epsilon \,f\Leftrightarrow f(a)=b$

Numa função $f:A\rightarrow B$ , tem-se que para algum $a\,\epsilon \,A$ , se $f(a)=0$ , então a será raiz da função $f$ .

Exemplo:
Considere a função real $f(x)=3x-6$ . Determine a raiz de $f$ .

Para encontrar a raiz de $f(x)$ , tem-se que $f(x)=0$ . Logo,

$3x-6=0$
$3x=6$
$x=2$

Portanto, 2 é raiz de $f(x)$ .

Outros exemplos sobre valor numérico

Ex 1: Seja a função $f$ de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\frac{2x-3}{5}$ . Qual é o elemento do domínio que tem $-\frac{3}{4}$ como imagem?

Resolução:

Para determinar o valor de $x$ do domínio que tem imagem $-\frac{3}{4}$ basta fazer $f(x)=-\frac{3}{4}$ .

$\frac{2x-3}{5}=-\frac{3}{4}$
$4(2x-3)=-3\cdot 5$
$8x-12=-15$
$8x=-3$
$x=-\frac{3}{8}$

Ex 2: (Unesp) Uma função de variável real satisfaz a condição $f(x+2)=2f(x)+f(1)$ , qualquer que seja o valor da variável $x$ . Sabendo-se que $f(3)=6$ , determine o valor de:

a) $f(1)$
b) $f(5)$

Resolução:
a) Para $x=1$ :

$f(1+2)=2\cdot f(1)+f(1)\Rightarrow f(3)=3\cdot f(1)\Rightarrow 6=3\cdot f(1)\Rightarrow f(1)=2$

b) Para x = 3:

$f(3+2)=2\cdot f(3)+f(1)\Rightarrow f(5)=2\cdot 6+2=14$

Ex 3: A função $f$ de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ é tal que, para todo $x\,\epsilon \,\mathbb{R}$ , $f(3x)=3f(x)$ . Se $f(9)=45$ , calcule $f(1)$ .

Fazendo $3x=9\Rightarrow x=3$

$f(9)=f(3\cdot 3)=3\cdot f(3)=45=3\cdot 15\Rightarrow f(3)=15$

Fazendo $3x=3\Rightarrow x=1$

$f(3)=f(3\cdot 1)=3\cdot f(1)=15=3\cdot 5\Rightarrow f(1)=5$

Portanto, $f(1)=5$ .

Domínio Algébrico de uma função real

Toda função $f$ é formada por três elementos: Domínio, Contradomínio e Imagem. Escrevendo f de forma algébrica, devemos determinar os possíveis valores de $"x"$ , sendo $x$ elemento do domínio e este, um subconjunto de $\mathbb{R}$ .

Exemplos:

a) $f(x)=\frac{x-2}{3x-9}$

Condição de existência

$3x-9\neq 0$
$3x\neq 9$
$x\neq 3$

Portanto, $D(f)=\mathbb{R}-\left \{ 3 \right \}$ .

b) $f(x)=\frac{\sqrt{-x+7}}{\sqrt{x-1}}$

Condição de existência

$-x+7\geq 0$ e $x-1>0$
$-x\geq -7$ $x>1$
$x\leq 7$

Portanto, $D(f)=]1;7]$ ou $D(f)=\left \{ x\,\epsilon\, \mathbb{R};1<x\leq 7 \right \}$

c) $f(x)=\frac{7x-1}{\sqrt[3]{5x-20}}$

Condição de existência

$5x-20\neq 0$
$5x\neq 20$
$x\neq 4$

Portanto, $D(f)=\mathbb{R}-\left \{ 4 \right \}$ .

Aplicações

Domínio algébrico de uma função real – RESUMO

(1° CASO) Função sem radical

$\frac{f(x)}{g(x)}\rightarrow \left\{\begin{matrix} D_f=\mathbb{R}|g(x)\neq 0 \end{matrix}\right.$

Atenção: O denominador de uma fração qualquer deve ser sempre diferente de zero

(2° CASO) Função com radical

$\frac{\sqrt[n]{f(x)}}{\sqrt[n]{g(x)}}\rightarrow \left\{\begin{matrix} n\, \text{impar}\rightarrow D_f=\mathbb{R}|g(x)\neq 0\\ n\, \text{par}\rightarrow f(x)\geq 0, g(x)> 0 \end{matrix}\right.$

Atenção

Quando o índice de uma raiz for ímpar, o radicando poderá ser qualquer número real, bastando apenas analisar o fato de estar ou não no denominador de uma fração. Mas, quando o índice de uma raiz for par, o radicando só poderá ser maior ou igual a zero, bastando apenas analisar o fato do mesmo estar no denominador de uma fração, sendo nesse caso apenas maior que zero.

Exemplos:

a) $f(x)=4x+5$

Nessa situação, para $\forall x$ real implica numa imagem $f(x)$ também será real.
Portanto, $D(f)=\mathbb{R}$ .

b) $f(x)=\frac{5x}{2x-1}$

Condição de existência

$2x-1\neq 0$
$2x\neq 1$
$x\neq \frac{1}{2}$

Portanto, $D(f)=\mathbb{R}-\left \{ \frac{1}{2}\right \}$

c) $f(x)=\frac{\sqrt[3]{x^2-3x+7}}{x^2-7}$

Nessa situação, para $\forall$ $x$ real implica numa imagem $f(x)$ também será real. Isso se deve ao fato de que a raiz de índice ímpar que aparece no numerador não possui restrição e que o denominador não tem como ser zero para qualquer $x$ real.

Portanto, $D(f)=\mathbb{R}$ .

d) $f(x)=\frac{\sqrt[6]{2^x+13}}{\sqrt[4]{6-2x}}$

Condição de existência

$6-2x>0$
$-2x>-6\,\,\cdot (-1)$
$2x<6$
$x<3$

Portanto, $D(f)=]-\infty ;3[=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R}|x<3 \right \}$ .

e) $f(x)=\frac{3}{\sqrt{3x-6}}+\frac{4x-1}{x-7}$

Condição de existência

$\left\{\begin{matrix} 3x-6>0 & \Rightarrow x>2\\ x-7\neq 0 & \Rightarrow x\neq 7 \end{matrix}\right.$

Portanto, $D(f)=\left \{ x\,\epsilon\, \mathbb{R} | x>2 \,e \,x\neq 7 \right \}$ .