Resumo de matematica: Equações

Introdução à Álgebra: Equações

Define-se Equação como a igualdade entre duas expressões algébricas. Simplesmente isso! Seguem abaixo três exemplos de equação:

a) a + b = 7

b) x + 3y = 12

c) 3m = 2n – 11

Guarde isso: A diferença entre uma Equação e uma Expressão Algébrica é que numa equação existe o sinal de igualdade (“=”).

Termos da Equação

O termo de uma equação é definido como o produto de um número por uma variável. Não importa em qual lado da igualdade os termos estão. Também é definido como termo quando um número aparece sozinho. Nesse caso, dá-se o nome de constante para esse termo.

Exemplo 1: Quantos termos têm as equações abaixo:

a) 2a = 6 (dois termos)

b) x – 3y = 0 (três termos)

c) 3p + 4q – 2r = 7 (quatro termos)

Problemas envolvendo Equações

Como nós vimos no post anterior, as expressões algébricas (e portanto as equações) são usadas para traduzir em linguagem matemática problemas do cotidiano, com o objetivo de se achar uma solução para esse problema.

Exemplo 2: Estou lendo um livro de 130 páginas, e estou na página 87. Quantas páginas ainda faltam para o final? Transformando em linguagem matemática: 87 + p = 130, onde p representa a variável “páginas faltantes”.

Exemplo 3: O pai tem o triplo da idade do filho menos 4 anos. Se o pai tem 44 anos, quantos anos tem o filho? Transformando em linguagem matemática: p = 3f -4, onde p e f representam as idades do pai e do filho, respectivamente.

Como resolver esses problemas? Para isso, precisamos achar a solução da equação!

Solução da Equação

Solução de uma equação é o número que, quando colocado no lugar da variável da equação, torna a igualdade verdadeira.

Exemplos:

a) Na equação x + 3 = 5: substituir a a variável x por 2 torna a igualdade verdadeira (2 + 3 = 5) $\Rightarrow$ x = 2 é a solução da equação x + 3 = 5.

b) Na equação 3m + 4 = 7: substituir a variável m por 1 torna a igualdade verdadeira (3*1 + 4 = 7) $\Rightarrow$ m = 1 é a solução da equação 3m + 4 = 7.

Técnica para Resolver uma Equação

Resolver uma equação é achar a solução da equação. A técnica clássica é isolar os termos da equação, ou seja, de um lado da igualdade devem ficar os termos contendo as variáveis e, do outro lado, os termos sem variáveis (constantes). Ok?

Atenção: Ao se aplicar essa técnica, deve-se prestar muita atenção para o fato de que um termo, ao mudar de lado da igualdade, muda de operação matemática, ou seja, se o termo for positivo, passa para o outro lado negativo (e vice-versa); se estiver multiplicando, passa para o outro lado dividindo (e vice versa).

Agora vamos usar como referência os Exemplos 2 e 3!

a) 87 + p = 130 $\Rightarrow$ p = 130 – 87 $\Rightarrow$ p = 43 (solução da equação: faltam 43 páginas para o fim do livro)

b) p = 3f – 4 $\Rightarrow$ 44 = 3f – 4 $\Rightarrow$ 44 + 4 = 3f $\Rightarrow$ 48 = 3f $\Rightarrow$ f = $\frac{48}{3}$ $\Rightarrow$ f = 16 (solução da equação: se o pai tem 44 anos, o filho tem 16 anos)

Explicações:

Na letra a), do lado esquerdo da igualdade ficou o termo com a variável (p); o termo 87 que era positivo, passou para o lado direito mudando de sinal, ficando negativo.

Na letra b), para poder resolver a equação, usamos o conceito de atribuir valores à variável visto no post anterior, de Introdução à Álgebra – Variáveis e Expressões Algébricas. Com isso, do lado direito da igualdade ficou o termo com a variável (3f); o termo -4 que era negativo, passou para o lado esquerdo mudando de sinal, ficando positivo. Em seguida, o número 3 está multiplicando a variável f, portanto, ao mudar de lado da igualdade, ele passa dividindo.