Resumo de matematica: Função Exponencial

Comportamento gráfico e Propriedades

Chama-se de função exponencial qualquer função $f$ de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ dada por uma lei da forma $f(x)=b^x$ , em que a é um número real, $0<b\neq 1$ . Podemos analisar a função exponencial segundo dois casos:

1° caso: $b>1$

Ex: $y = 2^x$

2° caso: $0<b<1$

Ex: $y=\left ( \frac{1}{2} \right )^x$

É importante perceber as seguintes características sobre a função exponencial:

I) $D=\mathbb{R}$ e $Im = R^*_+$ ;
II) Para $b>1$ a função é crescente;
III) Para a $0<b<1$ a função é decrescente;
IV) O gráfico não intercepta o eixo das abscissas. Esse eixo é chamado de assíntota do gráfico da função exponencial.

Equação Exponencial (Redução à mesma base)

As equações que se apresentam com a incógnita no expoente, com bases positivas e diferentes de 1, são chamadas de equações exponenciais.

Exemplos

a) $3^{x-2}=81$

b) $25^x-6\cdot 5^x+5=0$

Em geral, para resolver uma equação exponencial, igualam-se as bases das potências dos dois membros e comparam-se os seus expoentes, ou seja:

$a^x=a^y\Rightarrow x=y\, \text{com}\, 0<a\neq 1$

Exemplos:

a) $(2^x)^{x-1}=4$

$2^{x^2-x}=2^2$
$x^2-x=2$
$x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow x = - 1\, \text {ou}\, x = 2$

b) $3^{2x-1}\cdot9^{3x+4} =27^{x+1}$

$3^{2x-1}\cdot (3^2)^{3x+4}=(3^3)^{x+1}$
$3^{2x-1}\cdot 3^{6x+8}=3^{3x+3}$
$3^{8x+7}=3^{3x+3}$
$8x+7=3x+3$
$5x=-4$
$x=-\frac{4}{5}$

Equação Exponencial (Uso de artifícios)

As equações que se apresentam com a incógnita no expoente, com bases positivas e diferentes de 1, são chamadas de equações exponenciais.

Exemplos

a) $3^{x-2}=81$

b) $25^x-6\cdot 5^{x}+5=0$

Algumas equações exponenciais, será necessário fazer algumas transformações e usar artifícios. Um desses artifícios é a substituição de uma parte da equação por uma incógnita auxiliar.

Exemplos:a) $3^{x-1}-3^x+3^{x+1}+3^{x+2}=306$

$\frac{3^{x}}{3}-3^x+3^{x}\cdot 3+3^{x}\cdot 3^2=306$

Substituindo $3^x=t$ na equação exponencial, temos:

$\frac{t}{3}-t+t\cdot 3+t\cdot 9=306$

$\frac{t}{3}+11t=306$
$t+33t=918$
$34t=918$
$t=27$

Voltando a igualdade $3^x=t$ , obtemos: $3^x=27\Rightarrow x=3$

b) $4^x-2^x=56$

$(2^2)^x-2^x=56$
$(2^x)^2-2^x=56$

Substituindo $2^x=t$ na equação exponencial, temos:

$t^2-t=56$
$t^2-t-56=0\Rightarrow t=-7\, \text{ou}\, t=8$

Voltando a igualdade $2^x=t$ , obtemos:

$2^x=-7\Rightarrow$ Não convém

$2^x=8\Rightarrow x=3$

Inequação Exponencial

Inequação exponencial é uma desigualdade que apresenta a incógnita no expoente de pelo menos uma potência.

Exemplos:

a) $\left ( \frac{1}{5} \right )^{x-3}<25$

b) $4^x-2^x\geq 3$

Podemos analisar a função exponencial segundo dois casos:

1° caso: $a>1$

$a^{x_2}>a^{x_1}\Rightarrow x_2>x_1$

2° caso: $0<a<1$

$a^{x_2}>a^{x_1}\Rightarrow x_2<x_1$

Exemplos

a) $(0,42)^{1-2x}\geq 1$

$(0,42)^{1-2x}\geq (0,42)^0$
$1-2x\leq 0$
$-2x\leq -1$
$2x\geq 1$
$x\geq \frac{1}{2}\Rightarrow S=\left \{ x\, \epsilon \,\mathbb{R} | \, x\geq \frac{1}{2} \right \}$

b) $\left ( \sqrt[5]{25} \right )^x<\frac{1}{\sqrt[4]{125}}$

$\left ( 5^2 \right )^{\frac{x}{5}}<\frac{1}{\left ( 5^3 \right )^{\frac{1}{4}}$

$\left ( 5 \right )^{\frac{2x}{5}}<\frac{1}{\left ( 5 \right )^{\frac{3}{4}}$

$\left ( 5 \right )^{\frac{2x}{5}}<\left ( 5 \right )^{-\frac{3}{4}$

$\frac{2x}{5}<-\frac{3}{4}$

$x<-\frac{15}{8}\Rightarrow S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R} |\, x<-\frac{15}{8} \right \}$

Aplicações

DICA 1: Nas equações em que a variável aparece na base da equação, é obrigatório testar os números $-1$ , $0$ e $1$ .

Exemplo:

$x^{x^2-5x+6}=1$

Devemos examinar inicialmente se $-1$ , $0$ ou $1$ são soluções da equação.

Substituindo $x=-1$ na equação proposta, temos: $(-1)^{12}=1$ (verdadeiro)

Logo, $-1$ é solução.

Substituindo $x=0$ na equação proposta, temos: $0^6=1$ (falso)

Logo, $0$ não é solução.

Substituindo $x=1$ na equação, temos: $1^2=1$ (verdadeiro)

Logo, $1$ é solução da equação.

Supondo agora $0<x\neq 1$ , temos: $x^{x^2-5x+6}=1\Rightarrow x^2-5x+6=0\Rightarrow x=2\, \text{ou}\, x=3$ . Os valores $x=2$ ou $x=3$ são soluções, pois satisfazem a condição $0<x\neq 1$

$S=\left \{ -1;1;2;3 \right \}$

DICA 2: Nos sistemas de equações exponenciais é necessário a retirada das bases utilizando as propriedades de potências e também a igualdade $b^x=b^y\Rightarrow x=y$ , com $0<x\neq 1$ .

DICA 3: Para as questões de gráficos onde são fornecidos alguns pontos, deve-se substituir os pontos na equação da função dada pela questão para a construção do sistema.

DICA 4: Na resolução das inequações exponenciais, se faz necessário o uso das propriedades:

1° caso: $a>1\Rightarrow a^{x_2}>a^{x_1}\Rightarrow x_2>x_1$
2° caso: $a<1\Rightarrow a^{x_2}>a^{x_1}\Rightarrow x_2<x_1$