Resumo de matematica: Sistemas de equações e inequações de 1º grau

Sistema de equações e inequações do 1º grau

Por: Aline Ribeiro

Sistema de equações do 1º grau: Ele é constituído por duas ou mais equações contendo duas ou mais incógnitas. O sistema é utilizado em problemas com mais de uma variável. Existem três métodos de resolver um sistema: Por substituição, por comparação ou por adição.

1.1. Método da substituição: Consiste em isolar uma incógnita em uma equação e substituir o resultado na outra equação.

Exemplo 1: Resolva o sistema:

$\left\{\begin{matrix} x+y=25\\2x+y=35 \end{matrix}\right.$

Vamos escolher a primeira equação para isolar a incógnita y (poderia ser escolhida qualquer umas das duas equação e qualquer uma das duas incógnitas para ser isolada).

x +y = 25

y = 25 - x

Agora temos que substituir esse resultado na segunda equação:

2x + (25 - x) = 35

2x - x = 35 - 25

x = 10

Como x = 10, então:

y = 25 - 10

y = 15

Exemplo 2: Resolva o sistema:

$\left\{\begin{matrix} x+2y=22\\x-y=1 \end{matrix}\right.$

Vamos escolher a segunda equação para isolar a incógnita x (poderia ser escolhida qualquer umas das duas equação e qualquer uma das duas incógnitas para ser isolada).

x - y = 1

x = y + 1

Agora temos que substituir esse resultado na primeira equação:

(y + 1) + 2y = 22

3y = 22 - 1

3y = 21

y = 7

Como y = 7, então:

x = 7 + 1

x = 8

1.2. Método da comparação: Consiste em isolar uma das incógnitas nas duas equações e comparar os resultados.

Exemplo 1: Resolva o sistema:

$\left\{\begin{matrix} x+7y=200\\x-11y=2 \end{matrix}\right.$

Vamos isolar x nas duas equações.

x + 7y = 200

x = 200 - 7y

x - 11y = 2

x = 2 + 11y

Igualando os dois resultados:

x = x

200 - 7y= 2 + 11y

200 - 2 = 11y + 7y

198 = 18y

11 = y

Como 11 = y, podemos substituir esse valor em qualquer uma das equações e encontrar o valor de x. Substituindo na segunda:

x - 11.11 = 2

x = 2 + 121

x = 123

Exemplo 2: Resolva o sistema:

$\left\{\begin{matrix} x+2y=7\\3x-2y=-11 \end{matrix}\right.$

Vamos isolar y nas duas equações.

x + 2y = 7

2y = 7 - x

y = 7 - x2

3x - 2y = - 11

3x + 11 = 2y

y = 3x + 112

Igualando os dois resultados:

7 - x2 = 3x + 112

7 - x = 3x + 11

7 - 11 = 3x + x

-4 = 4x

x = -1

Como x = -1, podemos substituir esse valor em qualquer uma das equações e encontrar o valor de y. Substituindo na primeira:

y = 7 - (- 1)2

y = 7 + 12

y = 4

1.3. Método da adição: Consiste em somar as duas equação, a fim de zerar uma das incógnitas.

Exemplo 1: Resolva o sistema:

$\left\{\begin{matrix} 3x + 5y=30\\4x-5y=5 \end{matrix}\right.$

Somando as duas equações temos:

3x + 5y + 4x - 5y = 30 + 5

7x = 35

x = 5

Como x = 5, podemos substituir esse valor em qualquer uma das equações. Substituindo na primeira:

3.5 + 5y = 30

5y = 30 - 15

5y = 15

y = 3

Exemplo 2: Resolva o sistema:

$\left\{\begin{matrix} 4x+y=0\\6x-3y=36 \end{matrix}\right.$

Se somarmos essas duas equações não conseguiremos zerar nenhuma das dua incógnitas. Então, antes de somá-las iremos multiplicar a primeira equação por 3.

$\left\{\begin{matrix} 12x+3y=0\\6x-3y=36 \end{matrix}\right.$

Somando as duas equações temos:

12x + 3y + 6x - 3y = 36 + 0

18x = 36

x = 2

Como x = 2, podemos substituir esse valor em qualquer uma das equações. Substituindo na primeira:

4.2 + y = 0

y = - 8

Sistema de inequação: É constituído por duas ou mais equações, contendo apenas uma incógnita. Resolvemos cada uma das equações separadamente e depois determinamos a solução, que são todo os números que satisfazem as duas equações.

Exemplo 1: Resolva o sistema: $\left\{\begin{matrix} 2x+5\leq x-3\\3x-1\leq 2x+1 \end{matrix}\right.$

Resolvendo a primeira equação, temos:

2x + 5 $\leq$ x - 3

2x - x $\leq$ - 3 - 5

x $\leq$ - 8

Resolvendo a segunda equação, temos:

3x - 1 $\leq$ 2x +1

3x - 2x $\leq$ 1 + 1

x $\leq$ 2

Temos que x $\leq$ - 8 e x $\leq$ 2. Então o conjunto de números que obedecem aos dois resultado é:

x $\leq$ -8

Esse resultado pode ser representado por intervalo ou por conjunto:

S = {x $\in$ R | x $\leq$ -8} ou S = [-8, - $\infty$ [

Exemplo 2: Resolva o sistema:

$\left\{\begin{matrix} 2x+7\geq 3x+4 \\x-3> -1 \end{matrix}\right.$

Resolvendo a primeira equação, temos:

2x + 7 $\geq$ 3x + 4

7 - 4 $\geq$ 3x - 2x

3 $\geq$ x

Resolvendo a segunda equação, temos:

x - 3 > -1

x > -1 + 3

x > 2

Temos que 3 $\geq$ x e x > 2. Então o conjunto de números que obedecem aos dois resultado é:

2 < x $\leq$ 3

Esse resultado pode ser representado por intervalo ou por conjunto:

S = {x $\in$ R | 2< x $\leq$ 3 ou S = ]2, 3]

Resumo de matematica: Sistemas de equações e inequações de 1º grau

Sistema de equações do 1º grau: Ele é constituído por duas ou mais equações contendo duas ou mais incógnitas. O sistema é utilizado em problemas com mais de uma variável. Existem três métodos de resolver um sistema: Por substituição, por comparação ou por adição.

1.1. Método da substituição: Consiste em isolar uma incógnita em uma equação e substituir o resultado na outra equação.

1.2. Método da comparação: Consiste em isolar uma das incógnitas nas duas equações e comparar os resultados.

1.3. Método da adição: Consiste em somar as duas equação, a fim de zerar uma das incógnitas.

Sistema de inequação: É constituído por duas ou mais equações, contendo apenas uma incógnita. Resolvemos cada uma das equações separadamente e depois determinamos a solução, que são todo os números que satisfazem as duas equações.