Resumo de matematica: Função Logarítmica

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

As equações que apresentam a incógnita envolvida com logaritmos são chamadas de equações logarítmicas. Podemos classificar as equações logarítmicas em dois tipos:

1º tipo: $log_b\,f(x)=log_b\,g(x)$

$log_b\,f(x)=log_b\,g(x)\Leftrightarrow f(x)=g(x)$

2º tipo: $log_bf(x)=a$

$log_b\,f(x)=a\Leftrightarrow f(x)=b^a$

OBSERVAÇÃO
É obrigatório verificar se os valores encontrados serão validados pela condição de existência dos logaritmos na equação original.

Exemplos

Resolva as equações a seguir:

a) $log\,(2x-1)=log(x+7)$

$2x-1=x+7$
$2x+x=7+1$
$x=8$

Verificando

$2x-1=2\cdot 8-1=15>0$

$x+7=8+7=15>0$

Portanto, $S={8}$ .

b) $log_x(3-2x)=2$

$x^2=3-2x$
$x^2+2x-3=0\,x=1\,\text{ou}\,x=-3$

Verificando

$1$ e $-3$ não validam a base, pois a mesma deve ser diferente de $1$ e maior que $0$ .

Portanto, $S=\left \{ \,\,\,\,\, \right \}$ .

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

As propriedades logarítmicas foram desenvolvidas com o intuito de tornar os cálculos envolvendo logaritmos mais fáceis.

Nome	Regra	Simbólica
Logaritmo de um produto	O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores, tomados na mesma base;	$log_b\,(a\cdot c)=log_b\,a+log_b\,c$
Logaritmo de quociente	O logaritmo de um quociente é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor, tomados na mesma base;	$log_b\,(a/c)=log_b\,a-log_b\,c$
Logaritmo de uma potência	O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.	$log_b\,(a^n)=n\cdot log_b\,a$

OBSERVAÇÃO

É obrigatório verificar se os valores encontrados serão validados pela condição de existência dos logaritmos na equação original.

Exemplos

Resolva as equações a seguir:

a) $log_3\,(x+2)-log_{1/3}\,(x-6)=log_3\,(2x-5)$

$log_3\,(x+2)-(-1)log_{3}\,(x-6)=log_3\,(2x-5)$
$log_3\,(x+2)+log_{3}\,(x-6)=log_3\,(2x-5)$
$log_3\,\left [(x+2)\cdot (x-6) \right ]=log_3\,(2x-5)$
$log_3\,\left [x^2-4x-12 \right ]=log_3\,(2x-5)$
$x^2-4x-12= 2x-5$
$x^2-6x-7= 0\,x=7\,\,\text{ou}\,x=-1$

Verificando

$x+2=7+2=9>0 \,\,(V)$
$x+2=-1+2=1>0 \,\,(V)$

$x-6=7-6=1>0 \,\,(V)$
$x-6=-1-2=-3>0 \,\,(F)$

$2x-5=2\cdot 7-5=7>0\,\,(V)$
$2x-5=2\cdot (-1)-5=-7>0\,\,(F)$

Portanto, $S=\left \{ 7 \right \}$ .

b) $log_2^2\,x-9\cdot log_8\,x-4=0$

$log_2^2\,x-9\cdot log_{2^3}\,x-4=0$
$log_2^2\,x-3\cdot log_{2}\,x-4=0$

Fazendo $log_2\,x=t$ , temos:

$t^2=3\cdot t-4=0\Rightarrow t=4\,\text{ou}\,t=-1$ , mas $log_2\,x=t$ , então:

$log_2\,x=4\Rightarrow x=2^4=16$

$log_2\,x=-1\Rightarrow x=2^{-1}=\frac{1}{2}$

Portanto, $S=\left \{ 16,\frac{1}{2} \right \}$ .

INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA

Inequação logarítmica é uma desigualdade que apresenta a incógnita no logaritmando de, pelo menos, um logaritmo.

1º caso: $a>1$

$log_a\,x_2>log_a\,x_1\Rightarrow x_2>x_1$

2º caso: $0<a<1$

$log_a\,x_2<log_a\,x_1\Rightarrow x_2>x_1$

Exemplos

Resolva as inequações a seguir:

a) $log_2 \, (2x-1)<log_2\,6$

P1: Análise de bases: ok

P2: Condição de existência: $2x-1>0\Rightarrow x>\frac{1}{2}$

P3: Resolução: $2x-1<6\Rightarrow x>\frac{7}{2}$

P4: Solução: $S=\left \{ x\,\epsilon\,\mathbb{R}; \frac{1}{2}<x<\frac{7}{2} \right \}$

b) $log_{1/2}(x-4)<-1$

P1: Análise de bases: $log_{1/2}\,(x-4)\geq -1\cdot log_{1/2}\,\frac{1}{2}\Leftrightarrow log_{1/2}\,(x-4)\geq log_{1/2}\,2$

P2: Condição de existência: $x-4>0\Rightarrow x>4$

P3: Resolução: $x-4\leq 2\Rightarrow x\leq 6$

P4: Solução: Solução: $S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R}; 4<x<6 \right \}$

INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA

Tipo	Propriedade	Regra
1º caso: $a>1$	$log_a\,x_2>log_a\,x_1\Rightarrow x_2>x_1$	Conserva o sentido da desigualdade.
2º caso: $0<a<1$	$log_a\,x_2<log_a\,x_1\Rightarrow x_2>x_1$	Inverte o sentido da desigualdade.

Exemplos

1. Resolva a inequação o $log_2 (x - 3) + log_2 (x- 2)\leq 1$ .

P1: Análise de bases: $log_2 (x - 3) + log_2 (x - 2) \leq log_2 2$

P2: Condição de existência: $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \, \text {e }\,x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$

P3: Resolução: $log_2 [(x - 3)\cdot (x - 2)] \leq log_2 \,2\Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 \leq 0\Leftrightarrow 1 \leq x \leq 4$

P4: Solução: $S=\left \{x\,\epsilon \,\mathbb{R}; 3<x\leq 4 \right \}$

2. Resolva a inequação o $log_{1/3}\,(x^2-4x)>log_{1/3}\,5$ .

P1: Análise de bases: ok

P2: Condição de existência: $x^2 - 4x > 0 \Rightarrow x < 0\,\text{ ou }x > 4$

P3: Resolução: $log_{1/3}\,(x^2-4x)>log_{1/3}5\Leftrightarrow x^2-4x<5\Leftrightarrow x^2-4x-5<0\Rightarrow -1<x<5$

P4: Solução: $S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R}; -1<x<0 \,\text{ou}\,4<x<5 \right \}$

LOGARITMO DECIMAL

O logaritmo cuja base seja 10 é denominado logaritmo decimal, e indicamos esse valor por $log_{10 }\,N$ ou simplesmente $log\,N$ (a base 10 pode ser omitida).

Exemplos:
a) O valor $log_{10 }\,10 000$ pode ser simplesmente representado por $log\,10 000$ .
Para resolver, seguimos a definição:

$log\,10 000=a\Rightarrow 10^a=10 000\Rightarrow 10^a=10^4\Rightarrow a=4$

Conclui-se que $log\,10 000=4$ .

b) O valor $log_{10 }\,0,001$ pode ser simplesmente representado por $log\,0,001$ .
Para resolver, seguimos a definição:

$log\, 0,001 = a \Leftrightarrow 10^a = 0,001 \Leftrightarrow 10^a = 10^{-3} \Rightarrow a = - 3$

Conclui-se que $log\, 0,001 = - 3$ .

Característica e Mantissa

Qualquer que seja o número real positivo x que consideremos, ele estará necessariamente compreendido entre duas potências de 10 com expoentes inteiros consecutivos.

Exemplos:

a) $x = 0,02 \Rightarrow 10^{-2 }< 0,02 < 10 ^{-1}$

b) $x = 0,65 \Rightarrow 10^{-1}< 0,02 < 10 ^{0}$

c) $x = 2,73 \Rightarrow 10^{0}< 0,02 < 10 ^{1}$

d) $x = 41,7 \Rightarrow 10^{1}< 0,02 < 10 ^{2}$

Assim, dado $x>0$ , existe $c\,\epsilon\, \mathbb{Z}$ tal que:

$10 ^c < x < 10^ {c + 1} \Rightarrow log \,10^ c < log x < log\, 10^{ c + 1 }\Rightarrow 1c < log\, x < c + 1$

Concluindo que:

$log \,x = c + m,\,\text{ em que }c\,\epsilon \, Z\, \text{ e }0 \leq m < 1$

O número inteiro $c$ é por definição a característica do logaritmo de $x$ , e o número decimal $m (0 \leq m < 1)$ é por definição a mantissa do logaritmo decimal de $x$ .

Determinação da característica

1º caso $(x > 1)$
A característica do logaritmo decimal de um número $x > 1$ é igual ao número de algarismos de sua parte inteira menos $1$ .

Exemplos

a) $log\, 5,7\Rightarrow c = 1- 1 = 0$
b) $log \,57,902 \Rightarrow c = 2 - 1 = 1$
c) $log\, 457 \Rightarrow c = 3 - 1 = 2$
d) $log\, 5864,3 \Rightarrow c = 4 - 1 = 3$

2º caso $(0 < x < 1)$
A característica do logaritmo decimal de um número $0 < x < 1$ é o oposto da quantidade de zeros que precedem o primeiro algarismo significativo.

Exemplos

a) $log \,0,8\Rightarrow c = - 1$
b) $log\, 0,054 \Rightarrow c = - 2$
c) $log \,0,0098 \Rightarrow c = - 3$

Mantissa

A mantissa é obtida nas tábuas (tabelas) de logaritmos pode ser encontrada facilmente numa pesquisa na internet.

Atenção
Ao procurarmos a mantissa do logaritmo decimal de $x$ , devemos lembrar a seguinte propriedade.

“A mantissa do logaritmo decimal de $x$ não se altera se multiplicarmos $x$ por uma potência de 10 com expoente inteiro.”

Assim, como consequência imediata, pode-se garantir que os números que diferem apenas pela posição da vírgula possuem a mesma mantissa. Por exemplo, os números 300; 0,3; 3000; 0,03; 3 possuem a mesma mantissa que é 0,4771, mas suas características são respectivamente, 2, – 1, 3, – 2 e 0.