Resumo de matematica: Função Modular II - Aplicação de equações e inequações modulares

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES MODULARES

1. (Integrado 2018) Três ambulâncias, pertencentes ao Hospital Bom Samaritano, foram chamadas para atender um acidente localizado na mesma rodovia retilínea em que estavam. As três ambulâncias receberam simultaneamente o chamado e seguiram no mesmo sentido em direção ao sinistro. A distância D, em quilômetros, de cada ambulância em relação ao hospital varia com o tempo t, em minutos, de acordo com as funções $D_I=6t^2+t$ , $D_{II}=t^2+12t$ e $D_{III}=5t$ .
Após o recebimento do chamado, o número de vezes que a distância entre as ambulâncias $I$ e $II$ foi igual a distância entre as ambulâncias $II$ e $III$ até o local do acidente é

Considere que nenhuma ambulância tenha ainda chegado ao local do acidente.
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.

Resolução

A quantidade de instantes em que a condição dada é satisfeita pode ser encontrada através da equação a seguir:

$\left |D_I-D_{II }\right |=\left |D_{II}-D_{III}\right | \left |6t^2+t-(t^2+12t) \right |=\left |t^2+12t-5t \right |\left |5t^2-11t \right |=t^2+7t$

De onde obtemos:

$5t^2-11t=t^2+7t\Rightarrow 4t^2-18t=0\Rightarrow 2t(2t-9)=0\therefore t=0$ ou $t=4,5$ min ou $5t^2-11t=-(t^2+7t)\Rightarrow 6t^2-4t=0\Rightarrow 2t(3t-2)=0\therefore t=0$ ou $t=0,67$ min

Como a ocorrência deve se dar após o instante inicial, o número de vezes em que a condição é satisfeita é 2.

Gabarito: Letra b

2. (Uece 2017) Se as raízes da equação $x^2-5|x|-6=0$ são também raízes de $x^2-ax-b=0$ , então, os valores dos números reais $a$ e $b$ são respectivamente

a) -1 e 6.
b) 5 e 6.
c) 0 e 36.
d) 5 e 36.

Resolução

Sabendo que $|x|^2=x^2$ , para todo $x$ real, temos

$x^2-5|x|-6=0\Leftrightarrow |x|^2-5|x|-6=0 \Leftrightarrow (|x|- 6)(|x|+ 1)=0\Leftrightarrow x=\pm 6$ .

Em consequência, das Relações de Girard, vem $a=0$ e $b=36$ .

Gabarito: Letra c

3. (PUCRJ 2017) Três números positivos proporcionais a 5, 8 e 9 são tais que a diferença do maior para o menor supera o módulo da diferença entre os dois menores em 5 unidades.

Assinale o maior deles.

a) 45
b) 54
c) 63
d) 72
e) 81

Resolução

Do enunciado, sejam os números $5x$ , $8x$ e $9x$ , $x>0$ .

$9x-5x-5=\left |8x-5x \right |\Rightarrow 4x-5=\left |3x \right |$

Como $x>0$ ,

$4x-5=3x\Rightarrow x=5$

Assim, os números são: 25, 40 e 45.
Logo, o maior dos números é o 45.

Gabarito: Letra a

4. (Ita 2017) O número de soluções inteiras da inequação $0\leq x^2-|3x^2+8x|\leq 2$ é

a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.

Resolução

1) $x^2-\left |3x^2+8 x \right |\leq 0\Rightarrow x=0$ é solução

2) $\left |3x^2+8x \right |\cdot |x| \leq |x|\cdot |x|\Rightarrow 9x^2+48x+64\leq x^2\Rightarrow x2+6x+8\leq 0$ soluções $\Rightarrow -4\leq x\leq -2$ soluções inteiras possíveis: $-2$ , $-3$ , $-4$

Porém, substituindo-se o valor $-3$ na inequação original os valores não conferem. Logo, as soluções possíveis serão apenas 0, $-2$ e $-4$ .

Gabarito: Letra c