Resumo de matematica: Função Modular II - Equações modulares

EQUAÇÃO MODULAR

As equações que apresentam a incógnita dentro do módulo, são chamadas de Equações Modulares.
Para resolver esse tipo de equação, pode-se utilizar a seguinte propriedade:

$| x | = k \Rightarrow x = k \, \text{ou }\,x = - k,\,\text{ para }\,k \geq 0$

Ex: Resolver, em $\mathbb{R}$ , as equações a seguir:

a) $|2x - 5| = 7$

$\left\{\begin{matrix} 2x-5=7 &\Rightarrow& x=6 \\ &\,\text{ou}\\ 2x-5=-7 & \Rightarrow &x=-1 \end{matrix}\right.$

$S =\left \{ -1; 6 \right \}$

b) $|2x + 1| = |4 - 3x|$

$\left\{\begin{matrix} 2x+1=4-3x &\Rightarrow& x=\frac{3}{5} \\ &\,\text{ou}\\ 2x+1=-4+3x & \Rightarrow &x=5 \end{matrix}\right.$

$S=\left \{ \frac{3}{5}; 5 \right \}$

c) $|x + 1| = 3x + 2$

Tomemos inicialmente a condição para que seja possível a igualdade: $3x + 2 > 0 \Rightarrow x > - 2/3$

$|x + 1| = 3x + 2 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+1=3x+2& \Rightarrow & x= -12 & \\ x+1=-3x-2 & \Rightarrow & x=-34 & \text{(nao convem)} \end{matrix}\right.$

$S=\left \{ -\frac{1}{2} \right \}$

d) $|x|^2 - 3|x| - 10 = 0$

Fazendo $|x| = t$ , temos:

$t^2 - 3t - 10 = 0 \Rightarrow t = - 2 \,\text{ou }t = 5$

Substituindo em $|x| = t$ , temos:

$|x| = - 2$ (não convém)

$|x| = 5 \Rightarrow x = - 5\,\text{ ou }x = 5$

$S =\left \{ -5;5 \right \}$

EQUAÇÃO MODULAR - Outros exemplos

As equações que apresentam a incógnita dentro do módulo, são chamadas de Equações Modulares.
Para resolver esse tipo de equação, pode-se utilizar a seguinte propriedade:

$| x | = k \Rightarrow x = k \, \text{ou }\,x = - k,\,\text{ para }\,k \geq 0$

Exemplos

1. Resolva a equação $|3x+5|+|x-1|=2$ .

Resolução

De $\left |3x+5 \right |+\left |x-1 \right |$ ,

Assim, de $\left |3x+5 \right |+\left |x-1 \right |=2$ , $-4x-4=2$ , com $x\leq -\frac{5}{3}$ ou $2x+6=2$ , com $-\frac{5}{3}\leq x\leq 1$ e $4x+4=2$ , com $x\geq 1$ .

De $-4x-4=2$ , com $x\leq -\frac{5}{3}$ ; $-\frac{3}{2}>-\frac{5}{3}$ , ou seja, $-\frac{3}{2}$ não é raiz da equação.
De $2x+6=2$ , com $-\frac{5}{3}\leq x\leq 1$ ; $-2<-\frac{5}{3}$ , ou seja, $-2$ não é raiz da equação.
De $4x+4=2$ , com $x\geq 1$ ; $-1< 1$ , ou seja, $-1$ não é raiz da equação.

Portanto, a solução da equação é $S = \left \{ \,\,\,\, \right \}$

2. (Mackenzie 2016) Os gráficos de $f(x)=2\left | x^2-4 \right |$ e $g(x)=\left ( x-2 \right )^2$ se interceptam em

a) apenas um ponto.
b) dois pontos.
c) três pontos.
d) quatro pontos.
e) nenhum ponto.

Resolução

Para determinarmos os pontos de intersecção dos gráficos das funções devemos resolver um sistema com as suas equações.

$\left\{\begin{matrix} f(x)=2\left | x^2-4 \right |\\ g(x)=(x-2)^2 \end{matrix}\right.\Rightarrow 2\left | x^2-4 \right |=(x-2)^2$

Logo,
$2(x^2-4)=(x-2)^2\Rightarrow 2x^2-8=x^2-4x+4\Rightarrow x^2+4x-12=0\Rightarrow x=2\,\text{ ou }x=-6$
ou
$2(x^2-4)=-(x-2)^2\Rightarrow 2x^2-8=-x^2+4x-4\Rightarrow 3x^2-4x-4=0 \Rightarrow x=2 \,\text{ou }\,x=-\frac{2}{3}$

Como temos 3 valores distintos para x, os gráficos se interceptam em três pontos distintos.

Gabarito: Letra c

3. (CFTMG 2013) A soma das raízes da equação modular $\left | x+1 \right |^2-5\left | x+1 \right |+4=0$ é

a) $-7$ .
b) $-4$ .
c) 3.
d) 5.

Resolução

Resolvendo a equação na incógnita $\left |x+1 \right |$ temos:

$\left |x+1 \right |=\frac{5\pm 3}{2}\Rightarrow \left | x+1 \right |=4 \, \text{ou}\, \left | x+1 \right |=1\Rightarrow x=3\,\text{ou}\, x=-5\, \text{ou}\,x=0\,\text{ou}\,x=-2$

Calculando a soma das raízes, temos:

$3+(-5)+0+(-2)=-4$

Gabarito: Letra b