Resumo de matematica: Estudo Geral das Funções III

Paridade das funções

Função Par

Uma função $f(x)$ real é dita par se, e somente se, elementos simétricos do domínio gerarem imagens iguais.

$f(x) = f(-x)$

Ex: $f(x) = x^2- 1$ é uma função par, pois:

$f(- x) = (- x)^2 - 1 = x^2 - 1 = f(x)$

Representação gráfica

Resultado de imagem para função par graficamente

Atenção: O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo $Oy$ .

Função Ímpar

Uma função $f(x)$ real é dita ímpar se, e somente se, elementos simétricos do domínio gerarem imagens simétricas.

$-f(x) = f(-x)$

Exemplo: $f(x) = 2x$ é uma função ímpar, pois:

$f(-x) = 2(- x) = - 2x = - f(x)$

Representação gráfica

Resultado de imagem para função par graficamente

Atenção: O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação origem.

OBSERVAÇÃO
Quando uma função não for par, não quer dizer que será ímpar. Esse tipo de função será classificada como função sem paridade.

Introdução à Função Composta

Considere as funções:

Sejam as funções $f:A\rightarrow B$ e $g:B\rightarrow C$ , chama-se composta de $g$ em $f$ , a aplicação de $A$ em $C$ , definida por $g\circ f(x) = g(f(x))$ .

Observações:

I. A função composta $g(f(x))$ pode ser representada também por:

$g(f(x)) = g\circ f(x) = (g\circ f)(x)$

II. A função composta só estará definida de o contradomínio de $f$ for igual ao domínio de $g$ .

Função Composta - Outros exemplos

Função Composta

Sejam as funções $f: A\rightarrow B$ e $g: B\rightarrow C$ , chama-se composta de $g$ em $f$ , a aplicação de $A$ em $C$ , definida por $g\circ f(x) = g(f(x))$ .

Observações

I. A função composta $g(f(x))$ pode ser representada também por:

$g(f(x)) = g\circ f(x) = (g\circ f)(x)$

II. A função composta só estará definida de o contradomínio de $f$ for igual ao domínio de $g$ .

Ex 1: Considerando as funções reais $f(x) = 4x - 3$ e $g(x) = 7x + 2$ , determine:

a) $f \circ g (2) = f [ g(2) ] = f [ 7\cdot 2 + 2 ] = f [ 16 ] = 4\cdot 16 - 3 = 61$

b) $g \circ g (3) = g [ g(3) ] = g [ 7\cdot 3 + 2 ] = g [ 23 ] = 7\cdot 23 + 2 = 163$

c) $g \circ f (x) = g [ f(x) ] = g [ 4x - 3 ] = 7\cdot (4x - 3) + 2 = 28x - 21 + 2 = 28x - 19$

d) $f \circ f (x) = f [ f(x) ] = f [ 4x - 3 ] = 4\cdot (4x - 3) - 3 = 16x - 12 - 3 = 16x - 15$

Ex 2: Considerando as funções reais $g(x) = 7x + 2$ e $g \circ f (x) = 28x - 19$ , determine $f(2)$ .

$g [ f(x) ] = 7\cdot f(x) + 2$
$28x - 19 = 7\cdot f(x) + 2$
$7\cdot f(x) = 28x - 21$
$f(x) = 4x - 3 \rightarrow f(2) = 4\cdot 2 - 3 = 5$

Ex 3: Considerando a função real $f(x + 1) = 2x + 3$ , determine:

a) $f(6)$

Fazendo $x + 1 = 6$ , temos que $x = 5$ .
Assim,

$f(5 + 1) = 2\cdot 5 + 3$
$f(6) = 13$

b) $f(x)$

Fazendo $f(x) = f(t)$ , temos que $x + 1 = t \Rightarrow x = t - 1$
Assim,

$f [ (t -1) + 1 ] = 2.(t - 1) + 3$
$f (t) = 2t - 2 + 3$
$f (t) = 2t + 1$

Sendo $t = x$ , tem-se que $f(x) = 2x + 1$ .

Introdução à Função Inversa

Seja uma função $f: A \rightarrow B$ bijetora, então a relação $f ^{-1}: B \rightarrow A$ , chama-se função inversa de $f$ .

Notação

$f: A \rightarrow B$ $f ^{-1}: B \rightarrow A$
$x\rightarrow f(x)$ $f(x) \rightarrow x$

Representando por meio de diagramas, temos:

Observações

I. $(f - 1) - 1 = f$ ;

II. $D(f)=Im(f^{-1}) \text{e} Im(f)=D(f^{-1})$ ;

III. Se $(a; b)\, \epsilon \, f$ , sendo $f$ invertível, então $f(a) = b$ e $f^{-1} (b) = a$ .

Função Inversa - Outros exemplos

Seja uma função $f: A \rightarrow B$ bijetora, então a relação $f ^{-1}: B \rightarrow A$ , chama-se função inversa de $f$ .

Determinação da inversa de uma função

1. Par ordenado

Exemplo

$f = {(1; 0), (2; 1), (3; 2)}$
$f^{- 1 }= {(0; 1), (1; 2), (2; 3)}$

2. Lei de formação

Passo 1) Trocam-se $x$ e $y$ de posição;
Passo 2) Isola-se o valor de $y$ .

Exemplo

Calcule a inversa da função $f(x) = 2x + 1$ .

$y = 2x + 1$ (Trocando $x$ e $y$ de posição);
$x = 2y + 1$ (Isolando $y$ );

Portanto, a inversa de $f$ é a função $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$ .

3. Gráfico

Se $(x, y)\,\epsilon \, f$ , então $(x, y)\,\epsilon \, f^{-1}$ . Portanto, $f$ e $f^{-1}$ terão gráficos simétricos em relação à 1ª bissetriz $(y = x)$ ;

Resultado de imagem para diagrama das inversas

Aplicações

Função Par

Uma função $f(x)$ real é dita par se, e somente se, elementos simétricos do domínio gerarem imagens iguais.

$f(x) = f(-x)$

Função Ímpar

Uma função $f(x)$ real é dita ímpar se, e somente se, elementos simétricos do domínio gerarem imagens simétricas.

$-f(x) = f(-x)$

FUNÇÃO COMPOSTA

Sejam as funções $f: A\rightarrow B$ e $g: B\rightarrow C$ , chama-se composta de $g$ em $f$ , a aplicação de $A$ em $C$ , definida por $g\circ f(x) = g(f(x))$ .

Atenção
$g(f(x)) = g\circ f(x) = (g\circ f)(x)$

FUNÇÃO INVERSA

Seja uma função $f: A \rightarrow B$ bijetora, então a relação $f^{ -1}: B \rightarrow A$ , chama-se função inversa de $f$ .

OBSERVAÇÕES

I. $(f ^{- 1})^{ - 1 }= f$ ;

II. $D(f) = Im(f^{- 1})$ e $Im(f) = D(f ^{- 1})$ ;

III. Se $(x, y)\,\epsilon \, f$ , então $(x, y)\,\epsilon \, f^{-1}$ . Portanto, $f$ e $f^{-1}$ terão gráficos simétricos em relação à 1ª bissetriz $(y = x)$ ;

IV. Cálculo algébrico da função inversa

Passo 1) Trocam-se $x$ e $y$ de posição;
Passo 2) Isola-se o valor de $y$ .

V. Sendo $f$ uma função invertível, podemos afirmar que:

$f\circ f ^{-1}(x) = f^{ -1}\circ f(x) = x$

Atenção

Exemplo

$f(x)=\frac{2x+3}{x+4}\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{-4x+3}{x+2}$