Resumo de matematica: Trigonometria - Ciclo Trigonométrico - aprofundamento

Secante, cossecante e cotangente no Ciclo Trigonométrico.

No ciclo trigonométrico, a cotangente possui um eixo próprio, assim como a tangente. O eixo das cotangentes é paralelo ao eixo dos cossenos (eixo x), tangenciando superiormente a circunferência. Com isso, temos que $cotg(x)=\frac{1}{tg(x)}$ , ou seja, a cotangente é inverso da tangente e assume os mesmos sinais da tangente (positivo nos quadrantes 1 e 3, negativo nos quadrantes 2 e 4).

No caso da secante e cossecante, seus eixos são os próprios eixos do cosseno e seno, respectivamente. Para determiná-las no ciclo trigonométrico, traça-se uma reta tangente à circunferência na extremidade do arco. Os pontos nos quais esta reta tocar os eixos dos cossenos e dos senos, teremos os valores da secante e cossecante, respectivamente. A secante possui os mesmos sinais do cosseno (positivo nos quadrantes 1 e 4, negativo nos quadrantes 2 e 3) e a cossecante possui os mesmos sinais do seno (positivo nos quadrantes 1 e 2, negativo nos quadrantes 3 e 4).

seno, cosseno e tangente de metade de arco. (Arco Metade)

Os valores de seno, cosseno e tangente do arco duplo de x são:

$sen(2x)=2sen(x)\cdot cos(a)$
$cos(2x)=2cos^2(x)-1$

$tg(2x)=\frac{2tg(x)}{1-\left ( tg(x) \right )^2}$

Mas se quisermos os valores de seno, cosseno e tangente da metade de um arco, basta manipularmos os resultados acima, juntamente com

$cos^2(x)+sen^2(x)=1$
$tg(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}$

que chegamos a:

$sen\left ( \frac{x}{2} \right )=\pm \sqrt{\frac{1-cos(x)}{2}}$
$cos\left ( \frac{x}{2} \right )=\pm \sqrt{\frac{1+cos(x)}{2}}$
$tg\left ( \frac{x}{2} \right )=\pm \sqrt{\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}}$

Transformação de Soma em Produto. (Arco Metade - Exercícios Resolvidos)

No cálculo das razões trigonométricas de metade de medidas de arcos, é muito comum o aparecimento de radical “dentro” de radical. Por exemplo, se x é um arco do 4º quadrante e $cossec(x)=-3$ , qual o valor do seno do arco metade de x?
Solução:

Se $cossec(x)=-3$ , então $sen(x)=-\frac{1}{3}$ . Vamos imaginar um triângulo com um cateto medindo 1 e a hipotenusa medindo 3, então o outro cateto mede $2\sqrt{2}$ . Com isso, $cos(x)=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ . Agora vamos para o cálculo do seno do arco metade de x. Este arco metade pertence ao 2º quadrante, com isso:

$sen\left ( \frac{x}{2} \right )=\sqrt{\frac{1-cos(x)}{2}}$

$sen\left ( \frac{x}{2} \right )=\sqrt{\frac{1-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2}}$
$sen\left ( \frac{x}{2} \right )=\sqrt{\frac{\frac{3-2\sqrt{2}}{3}}{2}}$
$sen\left ( \frac{x}{2} \right )=\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{6}}$

Simplicação de expressões trigonométricas. Redução ao Primeiro Quadrante. (Arco Triplo)

A determinação de seno, cosseno e tangente do triplo da medida de um arco é obtida através dos resultados da soma das medidas de dois arcos e também das razões trigonométricas das medidas de arcos duplos. Por exemplo, para o cosseno do triplo do arco de medida x vamos partir de:

$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)$
$sen(2a)=2sen(a)cos(a)$

$cos(2a)=2cos^2(a)-1$

Com isso, temos:

$cos(3x)=cos(2x+x)$
$cos(3x)=cos(2x)\cdot cos(x)-sen(2x)\cdot sen(x)$
$cos(3x)=(cos^2(x)sen^2(x))cos(x)-2sen(x)cos(x)sen(x)$
$cos(3x)=cos^3(x)-2sen^2(x)cos(x)$
$cos(3x)=cos^3(x)-3(1-cos^2(x))cos(x)$
$cos(3x)=cos^3(x)-3cos(x)+3cos^3(x)$
$cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)$

Transformação de Soma em Produto

Em muitos problemas precisamos transformar soma de razões trigonométricas em produto. Sabemos que:

$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)$
$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b)$
$sen(a+b)=sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)$
$sen(a-b)=sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)$

Se fizermos $a+b=p$ e $a-b=q$ , então $a=\frac{p+q}{2}$ e $b=\frac{p-q}{2}$ . Somando e subtraindo as equações de seno e fazendo o mesmo com as de cosseno e, ainda, substituindo a e b, pelos seus respectivos valores, encontramos:

$cos(p)+cos(q)=2cos\left ( \frac{p+q}{2} \right )cos\left ( \frac{p-q}{2} \right )$
$cos(p)-cos(q)=-2sen\left ( \frac{p+q}{2} \right )sen\left ( \frac{p-q}{2} \right )$
$sen(p)+sen(q)=2 sen\left ( \frac{p+q}{2} \right )cos\left ( \frac{p-q}{2} \right )$
$sen(p)-sen(q)=2 cos\left ( \frac{p+q}{2} \right )sen\left ( \frac{p-q}{2} \right )$

E com estes resultados, conseguimos transformar soma de razões trigonométricas em produtos.

Exercícios Resolvidos

Da mesma forma que podemos transformar soma de razões trigonométricas em produto, podemos também transformar o produto em soma. Por exemplo, vamos determinar o valor numérico de

$cos\left ( \frac{7\pi }{8} \right )cos\left ( \frac{\pi}{8} \right )$

Solução:
Sabemos que

$cos(p)+cos(q)=2cos\left ( \frac{p+q}{2} \right )cos\left ( \frac{p-q}{2} \right )$

Fazendo

$\left\{\begin{matrix} \frac{p+q}{2}=\frac{7\pi }{8}\\ \frac{p-q}{2}=\frac{\pi }{8} \end{matrix}\right.$

obtemos $p=\pi$ e $q=\frac{3\pi }{4}$ .
Portanto,

$cos\left ( \frac{7\pi }{8} \right )cos\left ( \frac{\pi }{8} \right )$
$\frac{cos\left ( \frac{7\pi }{8} \right )cos\left ( \frac{\pi }{8} \right )}{2}$
$\frac{cos\left ( \pi \right )cos\left ( \frac{3\pi }{4} \right )}{2}$
$\frac{-1+\left ( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}{2}$
$\frac{-2-\sqrt{2}}{4}$