Resumo de matematica: Estudo Geral das Funções II

Domínio e Imagem no gráfico

Quando temos a representação gráfica de uma relação, o domínio será representado pelo intervalo formado pelas projeções dos pontos do gráfico sobre o eixo das abscissas e, a imagem, pelo intervalo formado pelas projeções dos pontos do gráfico sobre o eixo das ordenadas.

$D=[1;5[$ e $Im=[2;4[$

Outros exemplos:

$D=\left \{ x\,\epsilon\,\mathbb{R} | -5\leq x\leq 4 \right \}$
$Im=\left \{ x\,\epsilon\,\mathbb{R} | -4\leq y\leq 3 \right \}$

$D=\left \{ x\,\epsilon\,\mathbb{R} | -4\leq x\leq 3 \right \}$
$D=\left \{ x\,\epsilon\,\mathbb{R} | -6\leq y\leq 1 \text{ou} 3\leq y< 5 \right \}$

Reconhecimento gráfico de uma função

I. O conjunto de partida deve ser igual ao domínio;
II. O conjunto imagem está contido no contradomínio;
III. Retas paralelas ao eixo Oy devem interceptá-lo apenas uma única vez.

É função Não é função

Outros exemplos:

a) Seja $f$ uma relação de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ .

A relação $f$ é uma função, pois dentro do domínio estabelecido todas as paralelas ao eixo $Oy$ interceptam o gráfico uma única vez.

b) Seja $g$ uma relação de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ .

A reta em destaque intercepta o gráfico em três pontos distintos; isto é, uma abscissa do domínio possui três correspondentes na imagem. Logo, $g$ não é uma função.

c) Seja $h$ uma relação de $[-1;3]$ em $\mathbb{R}$ .

A relação $h$ é uma função, pois dentro do domínio estabelecido todas as paralelas ao eixo $Oy$ interceptam o gráfico uma única vez.

d) Seja $t$ uma relação de $[0;4]$ em $\mathbb{R}$

A relação $t$ não é uma função, pois não existem pontos do gráfico em toda a extensão do domínio estabelecido

Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora.

Função Sobrejetora

Uma função $f:A\rightarrow B$ é sobrejetora se, e somente se, a sua Imagem é o próprio Contradomínio.

$f$ é sobrejetora $im(f)=CD(f)$

Exemplo

Graficamente

Ex 1: A função $f:[1;6]\rightarrow [3;5]$ é sobrejetora, pois $Im=CD$ .

Ex 2: A função $f:[1;6]\rightarrow [3;10]$ não é sobrejetora, pois $Im\neq CD$ .

Atenção: Se uma função $f:A\rightarrow B$ é sobrejetora, então $n(A)\geq n(B)$ .

Função Injetora

Uma função $f:A\rightarrow B$ é injetora se, e somente se, elementos distintos de $A$ têm imagens distintas em $B$ .

$x_1\neq x_2\Leftrightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$

Exemplo

Graficamente para verificarmos se uma função é injetora (REGRA PRÁTICA), basta traçarmos retas horizontais e verificarmos se cada uma delas tocará no gráfico apenas uma vez. Caso contrário, a função não será injetora.

Ex 1: A função $f:[1;6]\rightarrow [3;5]$ é injetora, pois para cada valor de $x$ do domínio, existe apenas uma imagem no contradomínio.

Ex 2: A função $f:[1;6]\rightarrow [3:5]$ não é injetora, pois existem três valores no domínio (reta horizontal) que possui a mesma imagem no contradomínio.

Atenção: Se uma função $f:A\rightarrow B$ é injetora, então $n(A)\leq n(B)$ .

Função Bijetora

Uma função $f:A\rightarrow B$ é bijetora se, e somente se, é sobrejetora e injetora.

$f: \text{bijetora}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f: \text{injetora}\\ f:\text{sobrejetora} \end{matrix}\right.$

Exemplo

Atenção: Se uma função $f:A\rightarrow B$ é bijetora, então $n(A)=n(B)$ .

Monotonicidade nas funções

Função Crescente

Uma função é dita crescente quando satisfaz a seguinte condição:

$x_1< x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$

Ex:

Resultado de imagem para função crescente e decrescente

Função Decrescente

Uma função é dita decrescente quando satisfaz a seguinte condição:

$x_1< x_2\Rightarrow f(x_1).>(x_2)$

Ex:

Função Constante

Uma função $f(x)$ é constante se, e somente se, $x_1$ , $x_2$ $D(f)$ , implica $f(x_1)=f(x_2)$ .

Ex:

Funções Oscilantes

Uma função será dita oscilante se, e somente se, a função apresentar um comportamento de crescimento e decrescimento.

Ex: Seja $f$ uma função real, ou seja, definida de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ .

Na função, no seu domínio, temos que $f$ é crescente para $x\leq 4$ ou $x\geq 6$ e decrescente para $4\leq x\leq 8$ . Assim, a função descreve momentos de crescimento e decrescimento ao longo do seu domínio e, portanto, será definida como oscilante.

Estudo do Sinal

Seja a função $f:A\rightarrow B$ definida por $y=f(x)$ . Estudar o sinal da função $f$ é determinar em qual (ou quais) intervalo (s) do domínio a função $y=f(x)$ assume valores $f(x)>0$ , $f(x)\geq 0$ , $f(x)= 0$ , $f(x)\leq 0$ e $f(x)< 0$ .

Para se estudar o sinal de uma função, quando ela está representada no plano cartesiano, basta examinar se a ordenada de cada ponto da curva é positiva, nula ou negativa.

Ex 1:

$f(x)>0\Rightarrow S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R};-1<x<4 \,\text{ou}\,x>7\,\text{e}\,x\neq 2 \right \}$
$f(x)\geq 0\Rightarrow S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R};-1<x<4\, \text{ou}\,x>7 \right \}$
$f(x)= 0\Rightarrow S=\left \{-1;2;4;7 \right \}$
$f(x)\leq 0\Rightarrow S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R};x\leq -1\, \text{ou}\,4\leq x\leq 7 \right \}$
$f(x)< 0\Rightarrow S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R};x< -1\, \text{ou}\,4<x< 7 \right \}$

Ex 2:

$g(x)>0\Rightarrow S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R};-3<x<-1 \right \}$
$g(x)\geq 0\Rightarrow S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R};-3<x<-1\, \text{ou}\,x=3 \right \}$
$g(x)= 0\Rightarrow S=\left \{-3;-1;3 \right \}$
$f(x)\leq 0\Rightarrow S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R};x\leq -3\, \text{ou}\,x\geq -1 \right \}$
$f(x)< 0\Rightarrow S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R};x< -3\, \text{ou}\,x\geq -1\,\text{e}\, x\neq 3 \right \}$

Ex 3:

$h(x)> 0\Rightarrow S=\left \{ \mathbb{R}-\left \{ -2 \right \} \right \}$
$h(x)\geq 0\Rightarrow S=\left \{ \mathbb{R} \right \}$
$h(x)= 0\Rightarrow S=\left \{ -2 \right \}$
$h(x)\leq 0\Rightarrow S=\left \{ -2 \right \}$
$h(x)< 0\Rightarrow S=\left \{ \,\,\,\,\right \}$

Aplicações

Análise de gráficos

Domínio e imagem

Domínio → Projeta-se todos os pontos do gráfico sobre o eixo das abscissas.
Imagem → Projeta-se todos os pontos do gráfico sobre o eixo das ordenadas.

Reconhecimento gráfico de uma função

I. O conjunto de partida deve ser igual ao domínio;
II. O conjunto imagem está contido no contradomínio;
III. Retas paralelas ao eixo $Oy$ devem interceptá-lo apenas uma única vez.

Atenção: A questão deverá fornecer o conjunto de partida (domínio) e conjunto de chegada (contradomínio). Caso contrário, deve-se considerar uma relação de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ .

Tipologia das funções

Função Sobrejetora

Uma função $f:A\rightarrow B$ é sobrejetora se, e somente se, a sua Imagem é o próprio Contradomínio.

$f$ é sobrejetora $Im(f)=CD(f)$

Função Injetora

Uma função $f:A\rightarrow B$ é injetora se, e somente se, elementos distintos de $A$ têm imagens distintas em $B$ .

$x_1\neq x_2\Leftrightarrow f(x_1)\neq f(x_2)$

Função Bijetora

Uma função $f:A\rightarrow B$ é bijetora se, e somente se, é sobrejetora e injetora.

$f: \text{bijetora}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f: \text{injetora}\\ f:\text{sobrejetora} \end{matrix}\right.$

Atenção:

Se uma função $f:A\rightarrow B$ é sobrejetora, então $n(A)\geq n(B)$ .
Se uma função $f:A\rightarrow B$ é injetora, então $n(A)\leq n(B)$ .
Se uma função $f:A\rightarrow B$ é bijetora, então $n(A)= n(B)$ .

Funções Monotônicas

Função Crescente

Uma função é dita crescente quando satisfaz a seguinte condição:

$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$

Função Decrescente

Uma função é dita decrescente quando satisfaz a seguinte condição:

$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$

Função Constante

Uma função $f(x)$ é constante se, e somente se, $\forall x_1,x_2,D(f)$ , implica $f(x_1)=f(x_2)$ .

Funções Oscilantes

Uma função será dita oscilante se, e somente se, a função apresentar um comportamento de crescimento e decrescimento.

Estudo do sinal

Seja a função $f:A\rightarrow B$ definida por $y=f(x)$ . Estudar o sinal da função f é determinar em qual (ou quais) intervalo (s) do domínio a função $y=f(x)$ assume valores $f(x)>0$ , $f(x)\geq 0$ , $f(x)= 0$ , $f(x)\leq 0$ e $f(x)< 0$ .

Exemplo

$f(x)>0\Rightarrow S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R};-3<x<3 \,\text{ou}\,x=6 \right \}$
$f(x)\geq 0\Rightarrow S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R};-3\leq x\leq 3\, \text{ou}\,x\geq 6 \right \}$
$f(x)= 0\Rightarrow S=\left \{-3;3;6\right \}$
$f(x)\leq 0\Rightarrow S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R};x\leq -3\, \text{ou}\,3\leq x\leq 6 \right \}$
$f(x)< 0\Rightarrow S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R};x< -3\, \text{ou}\,3<x< 6 \right \}$