Resumo de matematica: Estudo dos Logaritmos II

MUDANÇA DE BASE

Existem situações em que nos deparamos com um logaritmo em certa base e temos de convertê-lo para outra base.

Um exemplo disso é que, para aplicarmos as propriedades operatórias, os logaritmos devem estar todos na mesma base. Caso contrário, é necessário executar uma mudança de base.

$log_b\,a=\frac{log_c\,a}{log_c\,b}$

Atenção

Consequências da mudança de base

I) $log_b\,a \cdot log_c\,b=log_c\,a$

II) $log_b\,a =\frac{1}{log_a\,b}$
III) $log_b\,a =\frac{1}{n}log_b\,a$

MUDANÇA DE BASE - Aplicações

Procedimento	Consequências
$log_b\,a =\frac{log_c\,a}{log_c\,b}$	$log_b\,a \cdot log_c\,b=log_c\,a$ $log_b\,a =\frac{1}{log_a\,b}$ $log_b\,a =\frac{1}{n}log_b\,a$

Procedimento

Consequências

$log_b\,a =\frac{log_c\,a}{log_c\,b}$

$log_b\,a \cdot log_c\,b=log_c\,a$

$log_b\,a =\frac{1}{log_a\,b}$

$log_b\,a =\frac{1}{n}log_b\,a$

Exemplos
1) Sendo $log\, 2 = 0,30$ e $log\, 3 = 0,47$ , calcule o valor de $log_2\, 12$ .

$log_2\, 12=\frac{log_{10}\,12}{log_{10}\,2}=\frac{log\,(2^2\cdot 3)}{log\,2}=\frac{log\,2^2+log\,3}{log\,2}=\frac{2\cdot log\,2+log\,3}{log\,2}=\frac{2\cdot 0,30+0,47}{0,30}=\frac{1,07}{0,30}=\frac{107}{30}$

2) Calcule o valor de $\left (3^{log_5\,10} \right )^{log_3\,5}$ .

$\left (3^{log_5\,10} \right )^{log_3\,5}=3^{log_5\,10\cdot log_3\,5}=3^{log_3\,10}=10$

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Considerando uma função exponencial do tipo $g(x) = b^x$ , definida de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}^*_+$ . Sendo a função $g(x)$ bijetora, tem-se que existe uma função inversa $f(x)$ , definida de $\mathbb{R}^*_+$ em $\mathbb{R}$ , tal que $g^{ - 1 }(x) = f(x) = log_b\, x$ .

Cálculo da inversa de $g(x)$ .

$g(x) = b^x$
$x = b^y$ → Troca-se $x$ por $y$ e $y$ por $x$
$y=log_b\,x$ → Isola-se $y$
$g^{ - 1 }(x) = f(x) = log_b\, x$ .

OBSERVAÇÃO

Os gráficos de $g$ e $f$ serão simétricos em relação à 1ª bissetriz $(y=x)$ .

DEFINIÇÃO
Dado um número real $b$ (com $0<b\neq 1$ ), chama-se função logarítmica de base b a função de $\mathbb{R}^*_+$ em R dada pela lei $f(x) = log_b\, x$ .

1º caso: $b > 1$

Ex: $f(x)=log_2\,x$

2º caso: $0 < b < 1$

Ex: $f(x)=log\,x$

Mod

É importante perceber as seguintes características sobre a função logarítmica:

I) $D = R^*_+$ e $Im= R^*_+$ ;
II) Para $b > 1$ a função é crescente;
III) Para a $0 < b <1$ a função é decrescente;
IV) O gráfico não intercepta o eixo das ordenadas. Esse eixo é chamado de assíntota do gráfico da função logarítmica.

FUNÇÃO LOGARÍTMICA - Outros exemplos

Dado um número real $b$ (com $0<b\neq 1$ ), chama-se função logarítmica de base $b$ a função de $\mathbb{R}^*_+$ em $\mathbb{R}$ dada pela lei $f(x) = log_b\, x$ .

1º caso: $b > 1$ 2º caso: 0 < b < 1

Ex: $f(x)=log_2\,x$ Ex: $f(x)=log\,x$

Mod

Atenção

É importante levar em consideração a condição de existência dos logaritmos. Assim, uma função dada por $f(x)=log_b\,x$ , tem-se que $x > 0$ e $1 \neq b > 0$ .

Exemplo
Determine o conjunto formado pelos possíveis valores inteiros de $x$ de modo que a função $f(x) = log_{(2x - 5) }\,(8 - x)$ seja crescente.

Condição de existência
- $8 - x > 0\Rightarrow x < 8$
- $1 \neq 2x - 5 > 0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-5\neq 1 & \Rightarrow & x\neq 3 \\ 2x-5>0 & \Rightarrow & x>2,5 \end{matrix}\right.$

Função crescente
- $2x - 5 > 1 \Rightarrow x > 3$

Assim, $3 < x < 8$ e os números inteiros que validam essa condição são: 4, 5, 6 e 7.

COLOGARITMO

Chamamos de cologaritmo de um número positivo $a$ em uma base $b (b > 0, b \neq 1)$ e indicamos $colog_b\, a$ o logaritmo do inverso desse número $a$ na base $b$ .

Assim,

$colog_b\, a = log_b\, \frac{1}{a},\,\text{ com }a, b > 0\,\text{ e }b \neq 1$

Uma consequência imediata é:

$colog_b\, a = log_b\, \frac{1}{a}= log_b \,a^{ - 1 }= - log_b\, a$

Exemplos

a) $colog_3\, 4 = - log_3\, 4 = log_3\, \frac{1}{4}$

b) $colog_2\, \frac{1}{5} = log_2\, 5$