Resumo de matematica: Função Modular I - Parte 2

Aplicações

Existem questões onde a construção gráfica se faz necessária para uma análise mais sofisticada dos elementos gráficos como veremos a seguir.

Exemplos

1) (PUCPR 2020) Considere a função $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , tal que $f(x)=\left | x \right |+\left | x+1 \right |$ , sobre ela, julgue as proposições seguintes:

I. $f(x)$ é crescente para todo $x\,\epsilon \,\mathbb{R}$ .
II. O valor mínimo de $f(x)$ é 0.
III. O conjunto imagem de $f(x)$ é o intervalo $[1,\infty )$ .
IV. $f(x)$ não função nem par e nem ímpar.
V. $f(x)$ é injetora.

Assinale a alternativa CORRETA.
a) Somente I e IV são corretas.
b) Somente II, III e V são corretas.
c) Somente I e II são corretas.
d) Todas são corretas.
e) Somente III e IV são corretas.

Resolução

$[I]$ Falsa. Reescrevendo a função $f(x)$ , temos:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} -x-x-1 &x<-1 \\ -x+x+1 &-1\leq x<0 \\ x+x+1& x\geq 0 \end{matrix}\right.= \left\{\begin{matrix} -2x-1 &x<-1 \\ 1& -1\leq x<0 \\ 2x+1 & x\geq 0 \end{matrix}\right.$

E o gráfico de $f(x)$ pode ser visualizado abaixo:

Portanto, $f(x)$ só é crescente para $x > 0$ .

$[II]$ Falsa. O valor mínimo de $f(x)$ é 1.

$[III]$ Verdadeira. Como é possível observar no gráfico de $f(x)$ , o seu conjunto imagem é o intervalo $[1, \infty )$ .

$[IV]$ Verdadeira. A função $f(x)$ não é nem par e nem ímpar, pois:

$f(-1) = 1 \,\text {e }f(1) = 3$

$[V]$ Falsa. $f(x)$ não é injetora, pois:

$f(-2) = f(1) = 3$

Gabarito: Letra e

2. (UFMS 2020) Seja $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ uma função modular, representada pelo gráfico a seguir:

A função f pode ser representada por:
a) $|x|+|x+7|$ .
b) $|3-x|+|x-4|$ .
c) $-|x|+|x-7|$ .
d) $|x+2|+|x+5|$ .
e) $|x+9|-|3x+2|$ .

Resolução

Tem-se que

$|x|+|x+7| = \left\{\begin{matrix} -2x-7, & \text{se }\,x<-7 \\ 7, & \text{se }\,-7\leq x<0 \\ 2x+7, & \text{se }\,x\geq 0 \end{matrix}\right.$ ,

$|3-x|+|x-4| = \left\{\begin{matrix} -2x+7, & \text{se }\,x<3 \\ 1, & \text{se }\, 3\leq x<4 \\ 2x+7, & \text{se }\,x\geq 4 \end{matrix}\right.$ ,

$-|x|+|x-7| = \left\{\begin{matrix}7, & \text{se }\, x<0 \\ -2x+7 & \text{se }\, 0\leq x<7\\ -7, & \text{se }\,x\geq 7 \end{matrix}\right.$ ,

$|x+2|+|x+5| = \left\{\begin{matrix}-2x-7, & \text{se }\,x<-5 \\ 3, & \text{se }\, -5\leq x<-2\\ 2x-7, & \text{se }\,x\geq -2 \end{matrix}\right.$ ,
e
$|x+9|-|3x+2| = \left\{\begin{matrix}2x-7, & \text{se }\,x<-9 \\ 4x+11, & \text{se }\, -9\leq x<-\frac{2}{3}\\ -2x+7, & \text{se }\,x\geq -\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$ .

Portanto, de acordo com o gráfico, só pode ser $f(x)= |3-x|+|x-4|$ .

Gabarito: Letra b

3. (ITA 2017) Sejam $S_1=\left \{ (x, y)\,\epsilon \,\mathbb{R}^2:y\geq ||x|-1| \right \}$ e $S_2=\left \{ (x, y)\,\epsilon \,\mathbb{R}^2:x^2+(y+1)^2\leq 25 \right \}$ . A área da região $S_1\cap S_2$ é

a) $\frac{25}{4}\pi -2$ .
b) $\frac{25}{4}\pi -1$ .
c) $\frac{25}{4}\pi$ .
d) $\frac{75}{4}\pi-1$ .
e) $\frac{75}{4}\pi-2$ .

Resolução

Esboçando o gráfico de $y\geq ||x|-1|$ e a circunferência definida por $x^2+(y+1)^2\leq 25$ , a região $S_1\cap S_2$ será a apresentada em amarelo na figura a seguir.

Calculando sua área, tem-se que essa será igual a um quarto da área do círculo menos a área de um quadrado de lado 2, ou seja:

$S_1\cap S_2=\frac{\pi \cdot 5^2}{4}-\left ( \sqrt{2} \right )^2=\frac{25\pi }{4}-2$

Gabarito: Letra a

4. (ITA 2017) Esboce o gráfico da função $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x)=\left |2^{-|x|}-\frac{1}{2} \right |$ .

Resolução

Dividindo a função em “partes” para esboçar:

$g(x)=\frac{1}{2}^x=2^{-x}$ ; $h(x)=\frac{1}{2}^{\left | x \right |}=2^{-\left | x \right |}$ ; $m(x)=\frac{1}{2}^{\left | x \right |}-\frac{1}{2}$ ; $f(x)=\left |2^{-|x|}-\frac{1}{2} \right |$