Resumo de matematica: Equação de 2º grau

Equação de 2º grau

Por: Aline Ribeiro

1. Equação de 2º grau: A equação de 2º grau é uma sentença matemática expressa por uma igualdade contendo uma ou mais incógnitas. Ela é da forma:

$ax^{2}+bx+c=0$

Com $a\neq 0$ e $a,b,c\in \mathbb{R}$ . Chamamos $a$ , $b$ e $c$ de coeficientes da equação.

1.1. Raiz de uma equação: É um número que quando colocado no lugar da incógnita transforma a equação em uma sentença verdadeira. A raiz da equação

também é chamada de solução da equação. No caso da equação de 2º grau podemos ter uma, duas ou nenhuma solução real.

1.2. Resolvendo uma equação: Resolver uma equação é determinar as raízes que ela possui. Assim como na equação de 1º grau, na equação de 2º grau

também podemos utilizar as operações elementares:

- Somar ou subtrair um mesmo número aos dois lados da equação.

- Multiplicar ou dividir por um mesmo número, diferente de zero, os dois lados da equação.

Além dessas, podemos utilizar as operações de potenciação e radiciação:

- Elevar os dois lados da equação a um mesmo número.

- Tirar a raiz n-ésima dos dois lados da equação.

Lembrando que sempre podemos resolver uma equação através da fatoração.

2. Fórmula resolutiva: Erroneamente conhecida como fórmula de Bhaskara, pois essa fórmula surgiria 400 anos após a sua morte. Ela é um método

de resolver equações do 2º grau de maneira direta, tendo como base apenas os coeficientes da equação. Ela é expressa da seguinte maneira:

$x=\frac{b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Chamamos $b^{2}-4ac$ de delta:

$\Delta =b^{2}-4ac$

Vamos demonstrar essa fórmula utilizando o método de completar quadrados. Dado uma equação de 2º grau:

$ax^{2}+bx+c=0$

Dividindo a equação por a:

$\frac{ax^{2}}{a}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=\frac{0}{a}$

$x^{2}+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0$

Multiplicando e dividindo apenas o segundo termo por 2:

$x^{2}+\frac{2}{2}\cdot \frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=0$

Somando $\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}$ dos dois lados da equação:

$x^{2}+2\cdot \frac{bx}{2a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}+\frac{c}{a}=0+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}$

Os três primeiros termos da equação formam um trinômio quadrado perfeito:

$\left (x+ \frac{b}{2a} \right ) ^{2}+\frac{c}{a}=\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}$

Subtraindo $\frac{c}{a}$ dos dois lados da equação:

$\left (x+ \frac{b}{2a} \right ) ^{2}+\frac{c}{a}-\frac{c}{a}=\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{c}{a}$

$\left (x+ \frac{b}{2a} \right ) ^{2}=\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{c}{a}$

$\left (x+ \frac{b}{2a} \right ) ^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$

Tirando a raiz quadrada dos dois lados da equação:

$\sqrt{\left (x+ \frac{b}{2a} \right ) ^{2}}=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

$x+ \frac{b}{2a}=\frac{\pm \sqrt{{b^{2}-4ac}}}{2a}$

Subtraindo $\frac{b}{2a}$ dos dois lados da equação:

$x+ \frac{b}{2a}-\frac{b}{2a}=\frac{\pm \sqrt{{b^{2}-4ac}}}{2a}-\frac{b}{2a}$

$x=\frac{-b \pm \sqrt{{b^{2}-4ac}}}{2a}$

Como queríamos demonstrar.

3. Soma e produto das raízes: Outro método para resolver equações de 2º grau é o da soma e produto. Podemos determinar a soma das duas raízes de

uma equação como:

$S=\frac{-b}{a}$

E o produto das duas raízes como:

$P=\frac{c}{a}$

Sabendo quanto vale a soma e o produto das raízes, basta pensar em dois números que somados dê $\frac{-b}{a}$ e multiplicados $\frac{c}{a}$ .

Para demonstrar a fórmula da soma iremos somar as duas raízes de uma equação:

$S=\frac{-b + \sqrt{{b^{2}-4ac}}}{2a}+\frac{-b - \sqrt{{b^{2}-4ac}}}{2a}$

$S=\frac{-2b}{2a}$

$S=\frac{-b}{a}$

Para demonstrar a fórmula do produto iremos multiplicar as duas raízes de uma equação:

$P=\frac{-b + \sqrt{{b^{2}-4ac}}}{2a}\cdot \frac{-b - \sqrt{{b^{2}-4ac}}}{2a}$

$P=\frac{b^{2}- \left (\sqrt{{b^{2}-4ac}} \right )^{2}}{4a^{2}}$

$P=\frac{b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}$

$P=\frac{c}{a}$

4. Estudo do discriminante de uma equação de 2º grau: O discriminante de uma equação de 2º grau é $b^{2}-4ac$ , também conhecido como delta $\left ( \Delta \right )$ .

Existem três possibilidades para os valores do discriminante:

4.1. Discriminante menor que zero $\left ( \Delta<0 \right )$ : Quando o valor do delta for menor que zero, então a equação não terá solução pertencente aos números reais.

4.2. Discriminante igual a zero $\left ( \Delta=0 \right )$ : Quando o valor do delta for igual a zero, então a equação terá duas raízes reais e idênticas.

4.1. Discriminante maior que zero $\left ( \Delta>0 \right )$ : Quando o valor do delta for maior que zero, então a equação terá duas raízes reais distintas.