Resumo de matematica: Função do 1° grau

Introdução à Função do 1° grau e Gráfico

Definição

Denomina-se função polinomial do 1º grau qualquer função real $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = ax + b$ , sendo a e b números reais e $a\neq 0$ . Numa função do 1º grau $f(x) = ax + b$ , com $a\neq 0$ , chamamos $a$ e $b$ de coeficiente angular e coeficiente linear, respectivamente.

Exemplos:
a) $f(x) = 3x + 2 \rightarrow a = 3\, \text {e }b = 2$
b) $f(x) = -5- x \rightarrow a = -1\, \text {e }b = -5$
c) $f(x) = 4x\rightarrow a = 4\, \text {e }b = 0$

Atenção

O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta não-paralela ao eixo $x$ e não-paralela ao eixo $y$ .

OBSERVAÇÃO

A depender dos valores dos seus coeficientes, uma função do 1º grau pode ser classificada como:

a) Função linear: quando $b=0$ ;

Ex: $f(x)=-3x$

b) Função identidade: quando $a=1$ e $b=0$ .

Ex: $f(x)=x$

c) Função constante: quando $a=0$

Ex: $f(x)=4$

Estudo dos coeficientes

Estudo do coeficiente angular

O coeficiente angular determinará a inclinação de uma reta em relação ao eixo das abscissas. Como na função do 1º grau, o coeficiente angular é diferente de zero, temos apenas duas possíveis situações a serem analisadas.

1º caso: $a>0$ (função crescente);

2º caso: $a<0$ (função decrescente).

Exemplos

a) $f(x) = 2x - 1 \rightarrow f$ é crescente
b) $g(x) = 4 - x \rightarrow f$ é decrescente
c) $h(x) = 3 \rightarrow f$ é constante

Estudo do coeficiente linear

O coeficiente linear, termo independente na função do 1º grau, indicará a ordenada do ponto no qual a reta interceptará o eixo das ordenadas, ou seja, esse ponto será representado pelo par ordenado $(0; b)$ .

$b > 0$ $b = 0$ $b < 0$

Determinação do coeficiente angular

Considere uma função do 1° grau abaixo da forma $y = f(x) = ax + b$ , com $a\neq 0$ .

Demonstração

Sabe-se que os pontos $A$ e $B$ pertencem ao gráfico.

$\left\{\begin{matrix} ax_B+B=y_B & (I)\\ ax_A+B= y_A& (II) \end{matrix}\right.$

Fazendo $(I)-(II)$ , temos:

$ax_B-ax_A=y_B-y_A$

$a(x_B-x_A)=y_B-y_A$

$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Exemplo

Calcule o coeficiente angular da função do 1^o grau que passa pelos pontos abaixo e verifique se a função é crescente ou decrescente:

a) $A(1,5)$ e $B(3, 11)$ .

$a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{11-5}{3-1}=3\rightarrow$ Função crescente $(a > 0)$

b) $C(4, 10)$ e $D(7, 5)$ .

$a=\frac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\frac{10-5}{7-3}=-\frac{5}{3}\rightarrow$ Função decrescente $(a < 0)$

Raiz ou zero da função e Estudo do Sinal

Raiz ou Zero da função

Denomina-se raiz ou zero da função o valor de $x$ que torna $f(x) = 0$ . Sendo assim, temos que $x=-\frac{b}{a}$ é raiz de $f(x) = ax + b$ , com $a\neq 0$ .

Graficamente, a raiz da função indica a interseção da reta com o eixo das abscissas.

Exemplo

Determine a raiz das seguintes funções:

a) $f(x) = 2x - 3$

$f(x) = 0\Rightarrow 2x -3 = 0$

$2x=3$

$x=\frac{3}{2}$

b) $g(x) = 7 - x$

$g(x) = 0\Rightarrow 7 -x = 0$

$- x = - 7$

$x=7$

Estudo do sinal da função do 1º grau

Estudar o sinal de uma função significa determinar, para quais valores $x$ do seu domínio, a função é negativa, nula e positiva.

Assim, calculamos a raiz da função e analisamos os intervalos nos quais o seu gráfico está acima (positiva), abaixo (negativa) ou sobre (nula) o eixo $x$ .

Considerando $x'$ a raiz da função $f(x) = ax + b$ , com $a\neq 0$ , temos:

1º caso: a > 0

$y < 0: S = \{x \,\epsilon \,\mathbb{R}; x < x'\}$
$y = 0: S = \{x \,\epsilon \,\mathbb{R}; x = x'\}$
$y > 0: S = \{x \,\epsilon \,\mathbb{R}; x > x'\}$

2º caso: a < 0

$y < 0: S = \{x \,\epsilon \,\mathbb{R}; x > x'\}$
$y = 0: S = \{x \,\epsilon \,\mathbb{R}; x = x'\}$
$y > 0: S = \{x \,\epsilon \,\mathbb{R}; x < x'\}$