Resumo de matematica: Trigonometria - Funções Inversas - aprofundamento

Função Arco Seno

A função seno é definida por $f(x)=sen(x)$ , com $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , que não é uma função sobrejetora, pois sua imagem é $[-1,1]$ , nem injetora, pois as imagens não são exclusivas, por exemplo, $f(0)=f(\pi )=0$ . Com isso, essa função não é bijetora, pois não é injetora, nem sobrejetora, o que significa que ela não admite inversa.
Mas podemos alterar domínio e contra domínio, para $\left [ -\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2} \right ]$ e $[-1,1]$ , respectivamente, e agora a função passa a ser bijetora e sua função inversa é $f^{-1}(x)=arcsen(x)$ , com $f:\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$ . Assim, $aecsen(x)=\alpha$ é o mesmo que dizer $sen(\alpha )=x$

Função Arco Cosseno.

Definimos como a inversa da função $f(x)=cos(x)$ , $f:[0,\pi ]\rightarrow [-1,1]$ a função $f^{-1}(x)=arccos(x)$ , $f^{-1}:[-1,1]\rightarrow [0,\pi ]$ .
Vamos observar o gráfico destas duas funções.

Lembrando que vale aproximadamente 3,14, observe como realmente funcionam os domínios e contra domínios (= imagens) das funções nos gráficos e também a simetria de ambos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Função Arco Tangente

Já sabemos que os contra domínios das funções arco seno e arco cosseno são, respectivamente, $\left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$ e $\left [ 0,\pi \right ]$ . Eles são diferentes, pois é necessário que eles sejam iguais as suas imagens, no domínio dado, para que sejam funções sobrejetoras. No caso da função arco tangente, para que ocorra o mesmo, seu contra domínio deve ser igual ao da função arco seno e a função arco tangente é definida por

$f(x)=arctg(x),f:\mathbb{R}\rightarrow \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$

Observe que o domínio desta função é o conjunto dos números reais, pois o contradomínio da função tangente bijetora (que admite inversa) é o conjunto dos reais. Vamos observar o gráfico da função arco tangente $f$ e da sua inversa função tangente $g$ .

Exercícios Resolvidos

A composição de funções inversas resulta na função afim. Por exemplo, sejam as funções inversas $f(x)=cos(x)$ , $f:[0,\pi ]\rightarrow [-1,1]$ a função $f^{-1}=arccos(x)$ , $f^{-1}:[-1,1]\rightarrow [0,\pi ]$ , qualquer que seja o valor de “x” pertencente ao domínio de $f$ , temos que $f^{-1}\left ( f(x) \right )$ ; da mesma forma, qualquer que seja o valor de “x” pertencente ao domínio de $f^{-1}$ , temos que $f\left ( f^{-1}(x) \right )=x$ .

Sendo assim, sabemos que, para a função $f(x)=sen(x)$ , $f:\left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]\rightarrow [-1,1]$ , que é uma função inversível, pois é bijetora, $f^{-1}(f(0))=0$ . Podemos verificar isso: como $f(0)=sen(0)=0$ e, como $f^{-1}(x)=arcsen(x)$ , com $f^{-1}:[-1,1]\rightarrow \left [ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right ]$ , então

$f^{-1}\left ( f(0) \right )=f^{-1}(sen(0))=f^{-1}(0)=arcsen(0)=0$