Resumo de matematica: Função do primeiro grau - Parte 2

Calculando os Coeficientes a e b a partir de um gráfico dado

Muitas vezes em um determinado problema, é dado um gráfico pronto e você precisa tirar conclusões a respeito. Normalmente, nesse tipo de problema, é importante descobrir a expressão matemática da função – em outras palavras, você vai precisar determinar os coeficientes angular e linear (a e b)!

Vamos usar o Exemplo 1 abaixo para ilustrar o passo a passo.

Exemplo 1: Dado o gráfico abaixo, vamos determinar os coeficientes a e b.

Dado um gráfico linear, como determinar os coeficientes a e b?

Vamos considerar os pontos P e Q no gráfico, conforme ilustrado abaixo:

Definindo os pontos P e Q, podemos calcular os coeficientes a e b!

Do conhecimento adquirido no post de plano cartesiano, sabemos que o ponto P é o par (0 ; 2) e que o ponto Q é o par (-1 ; 0). Correto?

Ora, também sabemos que os pontos P e Q pertencem à reta do gráfico. Se pertencem ao gráfico, então os pontos P e Q obedecem à lei de formação da função linear y = ax +b, certo? (Lembra do post de função da definição?).

Então certamente podemos fazer:

P (0 ; 2) $\Rightarrow$ x = 0 e y = 2, mas y = ax +b $\Rightarrow$ 2 = a*0 + b $\Rightarrow$ 2 = 0 + b $\Rightarrow$ b = 2
Q (-1 ; 0) $\Rightarrow$ x = -1 e y = 0, mas y = ax +b $\Rightarrow$ 0 = a*-1 + b $\Rightarrow$ mas b = 2 $\Rightarrow$ 0 = -a + 2 $\Rightarrow$ a = 2

Então, com os pontos P e Q, calculamos os valores de a = 2 e b = 2!

E como fica então a expressão matemática da função do gráfico? Fica: y = 2x + 2!

Observações

Observação 1: Note que a reta do gráfico cortou o eixo y no ponto P(0 ; 2). E que o valor do coeficiente linear b = 2, certo?

Conclusão: o valor do coeficiente linear b é sempre igual a ordenada do ponto em que a reta do gráfico cortar o eixo y!

Observação 2: Poderíamos ter escolhido outros pontos do gráfico, mas escolhemos os pontos P e Q por uma questão de conveniência. O importante é que o passo a passo seria o mesmo, ok?

Pergunta 1: Teste outros pares ordenados que você observa no gráfico do exemplo 1 e veja se eles respeitam a lei y = 2x + 2 que acabamos de calcular!

Taxa de Variação da Função do Primeiro Grau (ou linear)

Observe abaixo o gráfico de uma função do primeiro grau (ou função) linear qualquer. Nele, vamos representar dois pontos P1 e P2, com suas respectivas abscissas ( $\mathbf{x_{1}}$ e $\mathbf{x_{2}}$ ) e ordenadas ( $\mathbf{y_{1}}$ e $\mathbf{y_{2}}$ ).

Função linear qualquer para calcular a taxa de variação.

Podemos definir a taxa de variação de uma função como a relação:

$\mathbf{ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

A figura abaixo explicita melhor a definição:

Definindo taxa de variação da função linear.

Através da definição, o que estamos calculando na verdade é a tangente do ângulo $\dpi{120} \mathbf{\alpha }$ que a reta da função faz com a horizontal (eixo x).

$\mathbf{ tan\alpha = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

O resultado numérico dessa expressão é o nosso já conhecido coeficiente angular (a). Ele recebe esse nome por ser justamente o resultado da tangente do ângulo que a reta do gráfico faz com o eixo horizontal (eixo x).

Exemplo 2: Voltemos ao gráfico do Exemplo 1. Consideremos um novo ponto R conforme a figura abaixo. Vamos calcular a taxa de variação (ou o coeficiente angular) considerando o ponto R.

Gráfico linear com valores numéricos para calcular a taxa de variação.

Coordenadas do primeiro ponto P(0 ; 2) e do segundo ponto R(2 ; 6). Temos portanto:

x1 = 0 e y1 = 2
x2 = 2 e y2 = 6

Aplicando a definição, temos: $\mathbf{ tan\alpha = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{6 -2}{2 - 0}=\frac{4}{2}\Rightarrow tan\alpha = 2 }$ , que foi justamente o valor de a (coeficiente angular) que calculamos no Exemplo 1!

Nota: Esse resultado serve para mostrar que quaisquer dois (2) pontos da reta servem para calcular os coeficientes angular e linear!