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Resumo de matematica: Problemas de 1º e 2º grau



Problemas de 1º e 2º grau

Por: Aline Ribeiro

 

1. Problemas: Os problemas de 1º e 2º grau, são situações em que podemos criar modelos matemáticos que descrevê-las, utilizando a ideia ou o conceito

de equações. Basicamente definimos uma equação para solucionar um problema qualquer. 

 

Sempre que lidamos com um problema é de extrema importância a leitura e a interpretação da situação corretamente, pois é a partir daí que conseguimos

modelar para uma linguagem matemática.

 

Com isso podemos começar a resolver o problema da seguinte maneira:

- Identificar e definir a incógnita.

- Observar as condições para a incógnita (se será um número natural, inteiro...).

- Escrever a equação que traduz a situação do problema.

- Resolver a equação.

- Verificar se a raiz encontrada obedece às condições estabelecidas e se faz sentido no contexto do problema. 

 

Seguir esses passos não é algo obrigatório é somente para guiar o raciocínio na hora de resolver um problema. 

 

2. Exemplos:

 

Exemplo 1: Qual é o número que aumentado 20 torna-se o triplo do que era antes?

 

Primeiro vamos definir a incógnita:

x = número desconhecido

 

Não temos restrições para este número, então:

x\in \mathbb{R}

 

Escrevendo a equação temos:

Um número aumentado 20 = x + 20

Triplo desse número = 3x

x + 20 = 3x

 

Resolvendo: 

- x + x + 20 = 3x - x

20 = 2x : 2

10 = x

 

Como 10\in \mathbb{R} obedecendo a condição, então o número que aumentado 20 é igual ao seu triplo é 10. 

 

Exemplo 2: Uma pessoa foi passar férias numa cidade. Verificou que se gastasse R$ 80,00 por dia poderia permanecer na cidade um dia a mais do que se

gastasse R$ 90,00. Quanto possui essa pessoa? 

 

Definindo a incógnita:

x = número de dias

 

Como a nossa incógnita é a quantidade de dias, então não faz sentido ela ser representada por um número negativo. Por isso:

x\in \mathbb{R_{+}}

 

Definindo a equação:

90x é a quantidade de dinheiro que a pessoa irá gastar durante as férias.

80(x + 1) é a quantidade de dinheiro que a pessoa irá gastar, usando R$ 80,00 por dia.

 Como a quantidade de dinheiro é a mesma:

90x = 80(x + 1)

 

Resolvendo:

90x = 80(x + 1) : 10

9x = 8(x + 1)

- 8x +9x = 8x + 8 - 8x

x = 8

 

Como 8\in \mathbb{R_{+}}, então ele é raiz da equação. Porém o problema nos pede a quantidade de dinheiro que essa pessoa têm, então:

90x = 90 . 8 = 720 

 

Assim, a pessoa possui R$ 720,00 para usar em suas férias. 

 

Exemplo 3: A soma das idades de Ana e Bruno é igual a 35 anos. Daqui a 5 anos, a idade de Ana será o dobro da de Bruno. Qual é a idade atual de Bruno?

 

Definindo a incógnita:

x = Idade de Bruno

35 - x = Idade de Ana

 

Como nossas incógnitas representam quantidade de anos de uma pessoa, não faz sentido ela ser representada por um número negativo. Por isso:

x\in \mathbb{R_{+}}

 

Definindo a equação:

 Daqui 5 anos a idade de Bruno será x + 5 e a de Ana (35 - x) +5, 

desse modo:

(35 - x) +5 = 2(x + 5)

 

Resolvendo:

(35 - x) +5 = 2(x + 5)

-10 +40 - x = 2x + 10 -10

+ x + 30- x = 2x + x

30 = 3x :3

10 = x

 

Como 10\in \mathbb{R_{+}}, então Bruno tem 10 anos atualmente.

 

Exemplo 4: Um terreno retangular será cercado totalmente com 54 m de cerca. Sabendo que a área do terreno mede 180 m².  Quanto deve medir os

lados desse terreno?

 

Definindo a incógnita:

x = Comprimento do terreno

27 - x = Largura do terreno 

  

Como a nossa incógnita representa medida de comprimento, não faz sentido ela ser representada por um número negativo. Por isso:

x\in \mathbb{R_{+}}

 

Definindo a equação:

x (27 - x) = 180

 

Resolvendo:

x (27- x) = 180

x ² - 27x + 180 = 0

(x - 15).(x - 12) = 0

x= 15  ou   x = 12

 

Como 12,\ 15\in \mathbb{R_{+}} então ambos podem ser solução para a equação. Então se o comprimento for 15 m a largura será 12 m e vice-versa. 

 

Exemplo 5: Duas torneiras podem, juntas, encher um recipiente em 18 horas. Qual o tempo que cada uma sozinha leva para encher esse recipiente se a

primeira  emprega nessa operação 27 horas a mais que a segunda?

 

Chamaremos de A a primeira torneira, de B a segunda torneira e Q_{T} a quantidade total do volume total de água.

 

Para resolver esse problema iremos usar a ideia de vazão (quantidade de água por unidade de tempo). Explicitando a vazão das duas torneiras:

V_{A}=\frac{Q_{A}}{t}                      V_{B}=\frac{Q_{B}}{t}            (I)

 

Vamos considerar que as duas torneiras tiveram vazão constante durante todo o tempo. Com isso, podemos expressar a quantidade total de água, como:

           Q_{A}+Q_{B} = Q_{T}                 (II)

 

O que dizemos com essa equação é que a quantidade total de água é a quantidade de água que sai da torneira A mais quantidade de água que sai da torneira B.

 

A vazão de cada torneira em função de Q_{T} é:

       V_{A}=\frac{Q_{T}}{t_{A}}                    V_{B}=\frac{Q_{T}}{t_{B}}             (III)

 

O problema nos diz que a torneira A gasta 27 horas a mais que a torneira B:

                               t_{A}=t_{B}+27                             (IV)

 

Substituindo (I) em (II):

   V_{A}=\frac{Q_{A}}{t}\rightarrow Q_{A}=t\cdot V_{A}         V_{B}=\frac{Q_{B}}{t}\rightarrow Q_{B}=t\cdot V_{B} 

Q_{A}+Q_{B}=Q_{T}

t\cdot V_{A}+t\cdot V_{B}=Q_{T}

 

Como t = 18:

                        18\cdot V_{A}+18\cdot V_{B}=Q_{T}                    (V)

 

Substituindo (III) em (V):

18\cdot \frac{Q_{T}}{t_{A}}+18\cdot \frac{Q_{T}}{t_{B}}=Q_{T}

 

Colocando 18\cdot Q_{T} em evidência e simplificando a equação:

18\cdot Q_{T}\left (\frac{1}{t_{A}}+ \frac{1}{t_{B}} \right )={Q_{T}}    {\color{Red} :{Q_{T}}}   

\frac{1}{t_{A}}+ \frac{1}{t_{B}}=\frac{1}{18}

\frac{t_{A}+t_{B}}{t_{A}\cdot t_{B}}=\frac{1}{18}  

                    18\left ({t_{A}+t_{B}} \right )={t_{A}\cdot t_{B}}                  (VI) 

 

Substituindo (IV) em (VI):

18\left ({t_{B}+t_{B}}+27 \right )={\left (t_{B}+27 \right )\cdot t_{B}}

18\left ({2t_{B}}+27 \right )={t_{B}\ ^{2}+27\cdot t_{B}}

36t_{B}+486={t_{B}\ ^{2}+27\cdot t_{B}}

t_{B}\ ^{2}-9\cdot t_{B}-486=0

 

Fatorando a equação:

(t_{B}-27)\cdot (t_{B}+18)=0

t_{B}=27        ou       t_{B}=-18

 

Como t_{B} é uma unidade de tempo então t_{B}=27 e t_{A}=27+27=54.