Resumo de matematica: Área de figuras planas

Área de figuras planas

Por: Aline Ribeiro

A área pode ser definida como o espaço que uma superfície ocupa, a parte interna e a borda de uma poligonal fechada. É adotado pelo sistema internacional

a unidade de metros quadrados para o cálculo de áreas.

Observação: É utilizado medidas ao quadrado para o cálculo da área, pois estamos lidando com superfícies de duas dimensões.

1. Área de um quadrado: O quadrado é um quadrilátero que possui todos os lados com a mesma medida e os quatro ângulos retos.

Sua área pode ser calculada como:

$A_{\ Quadrado}=l\cdot l$

$A_{\ Quadrado}=l^{2}$

2. Área de um retângulo: O retângulo é um quadrilátero que possui os lados opostos com a mesma medida e os quatro ângulos retos.

Sua área pode ser calculada como:

$A_{\ Retangulo}=b\cdot h$

3. Área de um paralelogramo: O paralelogramo é um quadrilátero que possui os lados opostos paralelos e congruentes e os ângulos opostos com mesma medida.

Pensando nisso podemos prolongar a reta $\overline{BC}$ até o ponto $F$ , formando o triângulo retângulo $DCF$ .

Com isso temos que $\Delta ABE=\Delta DCF$ .

Assim a área do paralelogramo $ABCD$ será congruente a área do retângulo $AEFD$ . Desse modo:

$A_{\ Paralelogramo}=A_{\ Retangulo}$

$A_{\ Paralelogramo}=\left (b-x+x \right )\cdot h$

$A_{\ Paralelogramo}=b\cdot h$

4. Área de um triângulo: O triângulo é um polígono que possui três lados e três ângulos.

Considere o triângulo $ABC$ , onde $h$ é a altura e $b$ é a medida da base. Construindo um triângulo $CEA$ congruente a $ABC$ , temos:

Com isso, temos um paralelogramo formado por dois triângulos congruentes. Pensando nisso a área do triângulo pode ser expressa como:

$2\cdot A_{\ Triangulo}=A_{\ Paralelogramo}$

$A_{\ Triangulo}=\frac{A_{\ Paralelogramo}}{2}$

$A_{\ Triangulo}=\frac{b\cdot h}{2}$

5. Área do triângulo equilátero: O triângulo equilátero é um triângulo que possui todos os lados congruentes e os ângulos iguais a 60º.

A altura de um triângulo equilátero divide a base em dois lado iguais, é como se estivessemos dobrando o triângulo ao meio e a altura fosse a nossa dobra.

Usando o teorema de Pitágoras para determinar a medida da altura desse triângulo, temos:

$l^{\ 2}=\left ( \frac{l}{2} \right )^{2}+h^{2}$

$l^{\ 2}= \frac{l}{4}^{2}+h^{2}$

$\frac{4l^{\ 2}}{4}= \frac{l}{4}^{2}+\frac{4h^{2}}{4}$

$4l^{\ 2}- l^{2}=4h^{2}$

$3l^{2}=4h^{2}$

$h=\frac{l\sqrt{3}}{2}$

Agora que já sabemos a medida da altura do triângulo podemos calcular a sua área em função dos lados.

$A_{\ Triangulo\ Equilatero}=\frac{b\cdot h}{2}$

$A_{\ Triangulo\ Equilatero}=\frac{l}{2}\cdot\frac{l\sqrt{3}}{2}$

$A_{\ Triangulo\ Equilatero}=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$

6. Área do losango: O losango é um quadrilátero que possui todos os lados com a mesma medida e os ângulos opostos congruentes. Na figura D e d

representam as medidas das diagonais desse losango.

Sabe-se que as diagonais de um losango se cruzam no ponto médio, ou seja, o ponto $A$ da figura é o ponto médio das diagonais $\overline{MO}$ e $\overline{NP}$ . Com isso

o losango pode ser dividido em quatro triângulos retângulos congruentes.

Sabendo disso podemos expressar a área do losango como sendo:

$A_{\ Losango}=4\cdotA_{\ Triângulo}$

$A_{\ Losango}=4\cdot\left ( \frac{D}{2}\cdot\frac{d}{2} \right )\cdot \frac{1}{2}$

$A_{\ Losango}=4\cdot\frac{D\cdot d}{4}\cdot \frac{1}{2}$

$A_{\ Losango}=\frac{D\cdot d}{2}$

7. Área do trapézio: O trapézio é um quadrilátero com um par de lados paralelos e medidas distintas. O outro par de lados podem ser congruentes ou não.

Para calcular a área do trapézio iremos dividi-lo em três polígonos: Um retângulo e dois triângulos retângulos.

$A_{\ Trapezio}=A_{\ \Delta MNQ}+A_{\ Retangulo}+A_{\ \Delta PRO}$

$A_{\ Trapezio}=\frac{m\cdot h}{2}+b\cdot h+\frac{n\cdot h}{2}$

$A_{\ Trapezio}=\frac{m\cdot h}{2}+\frac{2\cdot b\cdot h}{2}+\frac{n\cdot h}{2}$

$A_{\ Trapezio}=\frac{h}{2}\cdot \left (m+2b+n \right )$

$A_{\ Trapezio}=\frac{h}{2}\cdot \left (m+b+n+b \right )$

Temos que $m+b+n=B\ (Base\ maior)$ , então:

$A_{\ Trapezio}=\frac{h}{2}\cdot \left ( B+b \right )$

8. Área do hexágono regular: Um hexágono regular é um polígono com seis lados e seis ângulos congruentes.

O hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros congruentes, pois os ângulos desses triângulos serão todos 60º (você pode tirar a

prova calculando a medida do ângulo central e a medida dos ângulos do hexágono, lembrando que as diagonais são bissetrizes dos ângulos).

Com isso podemos calcular a área do hexágono regular facilmente:

$A_{\ Hexagono\ regular}=6\cdot A_{\ Triangulo\ equilatero}$

$A_{\ Hexagono\ regular}=6\cdot \left ( \frac{l^{2}\cdot \sqrt{3}}{4} \right )$

$A_{\ Hexagono\ regular}=\frac{3\cdot l^{2}\cdot \sqrt{3}}{2}$

9. Área do octógono regular: Um octógono regular é um polígono com oito lados e oito ângulos congruentes.

O octógono regular pode ser dividido em oito triângulos isósceles congruentes (esse fato pode ser verificado utilizando uma circunferência circunscrita

ao polígono, onde os lados dos triângulos serão o raio da circunferência).

A área do octógono regular será oito vezes a área do triângulo. Pensando nisso vamos determinar a área de desses triângulos:

Iremos calcular a altura em função do lado, para determinar a área. Já sabemos que os ângulos da base medem 67,5º (pode ser verificado calculando a

medida do ângulo interno do octógono e dividindo por dois). Então:

$tg\left ( 67,5^{\circ} \right )=\frac{h}{\frac{l}{2}}$

$tg\left ( 67,5^{\circ} \right )\cdot \frac{l}{2}=h$

Por fim, podemos definir a área de um octógono como sendo:

$A_{\ Octogono\ regular}=8\cdot A_{\ Triangulo}$

$A_{\ Octogono\ regular}=8\cdot \frac{tg\left ( 67,5^{\circ} \right )}{2}\cdot \frac{l}{2}$

$A_{\ Octogono\ regular}=2\cdot l^{2}\cdot tg\left ( 67,5^{\circ} \right )$