Resumo de matematica: Geometria plana

GEOMETRIA

CONCEITOS PRIMITIVOS

As noções primitivas são aceitas sem definição, pois decorrem do conhecimento intuitivo, decorrente da experiência e da observação.

Adotaremos sem definição as noções de PONTO, RETA e PLANO.

Ponto

Os pontos são denotados por letras latinas maiúsculas, por exemplo, A, B, C, ...

“Os pontos são adimensionais.”

Reta

As retas, geralmente, são denotadas por letras latinas minúsculas, por exemplo, r, s, t, ...

“As retas são figuras unidimensionais.”

Plano

Os planos, geralmente, são denotados por letras gregas minúsculas, por exemplo, $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ ,...

“Os planos são figuras bidimensionais.”

OBSERVAÇÕES

Os pontos e as retas serão coplanares se, somente se, pertencerem ao mesmo plano.

Propriedades Geométricas

Postulados ou Axiomas: Proposições iniciais que são aceitas sem demonstração para que sejam base na construção da teoria.

Alguns postulados importantes

P₁ – Existem infinitas retas que passam por um plano.

$r\cap s \cap t \cap u = \{P\}$

P₂ - Postulados da existência

Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.

Num plano há infinitos pontos, bem como fora dele.

P₃ – Postulados da determinação

Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.

$r=AB^{\leftrightarrow }$

Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.

Teoremas: Proposições que para serem aceitas devem ser demonstradas.

Exemplos

a) “A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°.”

$\alpha + \beta + \gamma= 180^o$

b) “Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”

$a^2 = b^2 + c^2$

OBSERVAÇÃO

Quando dois ou mais pontos estiverem numa mesma reta, chamaremos de pontos colineares.

Os pontos A, B e C são colineares, pois pertencem a reta r.

ATENÇÃO

Sobre a figura, temos que:

1. a reta r, também poderá ser denotada por $AB^\leftrightarrow$ .

2. a semirreta é a parte da reta limitada por um ponto. Temos por exemplo que a semirreta que limitada por A passando por B é denotada por $AB^\rightarrow$

3. o segmento de reta é a parte da reta limitada por dois pontos. O segmento $\overline{AB}$ é a única parte da reta que poderá ser medida.

Tipos de segmentos de reta

Segmentos consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente se, existir uma extremidade em comum.

Os segmentos AB e BC são consecutivos.

Os segmentos MN e OP não são consecutivos, mas são colineares.

Segmentos adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se, e somente se, possuem apenas uma extremidade em comum.

Os segmentos AB e BC são adjacentes, enquanto que $\overline{MP}$ e $\overline{NP}$ não são adjacentes.

PONTO MÉDIO

É o ponto de um segmento que o divide em dois segmentos congruentes.

B é o ponto médio do segmento AC, pois $\overline{AB}$ $\equiv \overline{BC}$ .

Região convexa: Dois pontos quaisquer dessa região definem um segmento inteiramente contido na região.

Se uma região não é convexa, ela é uma região côncava.

Ângulo

É a reunião de duas semirretas do plano com mesma origem.

$A\hat{O}B= B\hat{O}A=\alpha$

Elementos

O é o vértice.
$\vec{OA}$ e $\vec{OB}$ são lados.

OBSERVAÇÕES

Ângulos consecutivos: Ângulos que possuem um lado em comum.

Os ângulos $A\widehat{O}C$ e $B\widehat{O}C$ são consecutivos.

Ângulos adjacentes: Ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns.

Os ângulos AOC e BOC são adjacentes

Bissetriz de um ângulo: É uma semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.

$\overset{OB}{\rightarrow}$ OB é bissetriz de $A\widehat{O}C$ .

AOB≡BOC

Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.): Ângulos em que os lados de um deles são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.

Os ângulos $A\widehat{O}B$ e $C\widehat{O}D$ são o.p.v.

Congruência de ângulos

A congruência (símbolo $\equiv$ ) entre ângulos é uma noção primitiva que satisfaz os seguintes postulados:

1º) Reflexiva. Todo ângulo é congruente a si mesmo: abab. ˆ

2º) Simétrica. Se ab cd, então cdab

3º) Transitiva. Se ab≡ cd e cd ef, então ab ef

Adição de ângulos

Se a semirreta $\overset{Ob}{\rightarrow}$ é interna ao ângulo $A\hat{O}C$ , o ângulo $A\hat{O}C$ é soma dos ângulos $A\hat{O}B$ e $B\hat{O}C$ .

$\hat{ ac} = \hat{ab }+\hat{ bc}$

Ângulo

É a reunião de duas semirretas do plano com mesma origem.

$A\hat{O}B= B\hat{O}A=\hat{AB}=\alpha$

OBSERVAÇÕES

$\hat{AB}=\hat{CD} \Rightarrow med(\hat{AB})=med(\hat{CD})$
$\hat{AB}>\hat{CD }\Leftrightarrow med(\hat{AB})>med(\hat{CD})$
$\hat{AB}>\hat{CD} + \hat{DE} \Leftrightarrow med(\hat{AB})=med(\hat{CD})+med (\hat{DE})$

Classificação dos ângulos – Medidas

Nulo $(A\hat{O}B=0^o)$

Reto $(A\hat{O}B=90^o)$

$(A\hat{O}B=180^o)$

Agudo $(0^o<\hat{AOB}<90^o)$

Obtuso $(90^o<\hat{AOB}<180^o)$

Pleno $(\hat{AOB}= 360)$

Grau (º)

Por definição, 1 grau é a medida do arco equivalente a 1360 da circunferência, ou seja, um arco de uma volta completa mede 360°.

$\hat{AB}$ = 90º

$\hat{BC}$ = 90º

$\hat{CD}$ = 90º

$\hat{DA}$ = 90º

Atenção

1º equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.

Ângulo

É a reunião de duas semirretas do plano com mesma origem.

$A\hat{O}B= B\hat{O}A=AB=\alpha$

Classificação dos ângulos – Soma

De acordo com a soma de suas medidas

Complementares

$A\hat{O}C+C\hat{O}B=90^o$

Suplementares

$A\hat{O}C+C\hat{O}B=180^o$

Replementares

$A\hat{O}C+B\hat{O}A=360^o$

Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.): Ângulos em que os lados de um deles são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.

Os ângulos $A\hat{O}B$ e $C\hat{O}D$ são o.p.v.

Propriedade

Os ângulos opostos pelo vértice são iguais.

Assim, $A\hat{O}B =C\hat{O}D$ e $A\hat{O}D =B\hat{O}C$ .

DICA 1

PONTO MÉDIO: É o ponto de um segmento que o divide em dois segmentos congruentes.

B é o ponto médio do segmento AC, pois $\overline{{AB}}$ $\equiv$ $BC$ .

DICA 2

Nas operações com ângulos é preciso escrever os minutos e segundos com medidas menores que 60. Assim, utilizar de que 1º equivale a 60’ e 1’ equivale a 60” é necessário.

DICA 3

Propriedade: Os ângulos opostos pelo vértice são iguais.

$A\hat{O}B=C\hat{O}D$ e $A\hat{O}D=B\hat{O}C$

DICA 4

Bissetriz de um ângulo: É uma semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.

$\overset{OB}{\rightarrow}$ é bissetriz de $A\hat{O}C$ .
$A\hat{O}B\equiv B\hat{O}C$

DICA 5

Ângulos complementares: $\alpha + \beta = 90^o$

Ângulos suplementares: $\alpha + \beta = 180^o$

Ângulos replementares: $\alpha + \beta = 360^o$