Resumo de matematica: Semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos

Por: Aline Ribeiro

1. Introdução: Duas figuras quaisquer são semelhantes na geometria quando elas têm formas iguais e tamanhos proporcionais. Em especial, vamos estudar

a semelhança de triângulos.

Dizemos que dois triângulos são semelhantes quando a medida de seus ângulos correspondentes são congruentes e seus lados correspondentes

são proporcionais.

Os triângulos $ABC$ e $DEF$ são semelhantes pois as medidas de seus ângulos correspondentes são congruentes. Então:

$\frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f} = k$

Chamamos $k$ de razão de semelhança. Quando $k=1$ , os triângulos serão congruentes.

Observação 1: A razão das alturas também obedece essa razão de semelhança.

Observação 2: Tenha muita atenção, pois é indispensável a coerência e a ordem de utilização das medidas dos lados.

2. Critérios de semelhança: Nem sempre é preciso descobrir a medida de todos os lados e de todos os ângulos dos triângulos para concluir que eles

são semelhantes. Existem três critérios que utilizam apenas três medidas e já nos garante da semelhança dos triângulos em questão.

2.1. Caso 1 (AA): Se dois triângulos possuem dois pares de ângulos congruentes, então eles serão semelhantes.

Como os ângulos do triângulo $ABC$ são congruentes com os do triângulo $DEF$ , então eles são semelhantes $\left (ABC\sim DEF \right )$ .

2.2. Caso 2 (LAL): Se dois triângulos possuem dois pares de lados proporcionais e o ângulo compreendido entre eles congruente, então os triângulos

serão semelhantes.

Como $AB$ , $DE$ e $AC$ , $DF$ são pares de lados proporcionais e os ângulos por elas compreendido são congruentes, então $ABC\sim DEF$ .

2.3. Caso 3 (LLL): Se dois triângulos possuem três pares de lados congruentes, então eles serão semelhantes.

Como $AB$ , $DE$ e $AC$ , $DF$ e $BC$ , $EF$ são pares de lados proporcionais, então $ABC\sim DEF$ .

2.4. Exemplos:

Exemplo 1: Os lados de um triângulo $ABC$ são $AB=12$ , $AC=16$ e $BC=24$ . Seja $M$ um ponto no lado $AB$ , tal que $AM=3\cdot BM$ . Traçando

$MN$ paralela a $BC$ , com $N\in BC$ , calcule o perímetro do triângulo $AMN$ .

Temos que $\alpha$ é um ângulo comum dos dois triângulos e $\beta$ e $\beta'$ são ângulos correspondentes, então $\beta$ = $\beta'$ . Desse modo temos que $AMN\sim ABC$ ,

pelo caso 1. Então:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$

Como $AM=3\cdot BM$ e $AB=12$ :

$AB=AM+BM$

$12=3\cdot BM+BM$

$12=4\cdot BM$

$3 = BM$ e $AM=3\cdot 3=9$

Desse modo:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$

$\frac{9}{12}=\frac{AN}{16}=\frac{MN}{24}$

$\frac{9}{12}=\frac{AN}{16}$ $\frac{9}{12}=\frac{MN}{24}$

$\frac{9\cdot 16}{12}=AN$ $\frac{9\cdot 24}{12}=MN$

$12=AN$ $18=MN$

Então o perímetro do $\Delta AMN=AM+MN+AN=9+18+12=39$ .

Exemplo 2: Na figura ao lado, os segmentos $CD$ , $AC$ e $AD$ medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e $AC$ é a bissetriz do ângulo $B\widehat{A}D$ . Determine

a medida do segmento $AB$ .

Colocando as informações do problema na figura temos:

Como $AC$ é bissetriz, temos que $D\widehat{A}C=B\widehat{A}C$ , assim $ADC\sim ACB$ pelo caso 1 (ângulo, ângulo). Desse modo:

$\frac{10}{x}=\frac{7}{10}$

$7x=100$

$x=\frac{100}{7}=AB$

Exemplo 3: Na figura, $AB = 12$ , $AC = 8$ e $ADEF$ é um losango inscrito no triângulo $ABC$ . Determine a medida do lado desse losango.

Colocando as informações do problema na figura temos:

Como $AF$ e $DE$ são lados de um losango, então as retas que os contém são paralelas. Pensando nisso temos que $C\widehat{B}A=C\widehat{E}D$ , pois eles são

correspondentes e $B\widehat{F}E=B\widehat{A}D$ , pois são correspondentes e pelo mesmo motivo $B\widehat{F}E=B\widehat{A}D=E\widehat{D}C$ . Assim temos que $\Delta EBF\sim \Delta CED$ ,