Resumo de matematica: Estudo das Inequações

Inequação do 1° grau e Sistemas de inequações

Inequações do 1º grau

Adota-se o mesmo procedimento utilizado para resolver equações do 1º grau, ou seja, isola-se a incógnita.

Ex 1: Resolver, em $\mathbb{R}$ , a inequação $2x - 4 > 6$

$2x - 4 > 6$
$2x > 10$
$x > 5$

$S=\left \{ x\, \epsilon \mathbb{R} |x>5 \right \}$

Ex 2: Resolver, em $\mathbb{R}$ , a inequação $\frac{x + 2}{3}+\frac{x - 1}{2}\geq x$ .

Multiplicando a desigualdade pelo $mmc(3; 2) = 6$ , temos:

$2\cdot (x + 2) - 3\cdot (x - 1) \geq 6x$
$2x + 4 - 3x + 3 \geq 6x$
$- x - 6x \geq - 7$
$-7x\geq -7$
$7x\leq 7$
$x\leq 1$

$S = \left \{ x \,\epsilon \, \mathbb{R} / x \leq 1 \right \}$

Inequação do 2° grau e Sistemas de inequações

Calculam-se as raízes da função, estuda-se o sinal e determina-se o seu conjunto solução.

Ex 1: Resolver, em $\mathbb{R}$ , a inequação $x^2 - 7x +12 \leq 0$ .

$x^2 - 2x + 1 = 0$
$\Delta = (-7)^2 - 4\cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
$x=\frac{-7\sqrt{1}}{2\cdot 1}$
$x_1 = 4$ ou $x_2 = 3$

$S = \left \{x \,\epsilon \, \mathbb{R} / 3 \leq x \leq 4 \right \}$

Ex2 Resolver, em $\mathbb{R}$ , a inequação $x^2 - 2x + 1 \geq 0$ .

$x^2 - 2x + 1 = 0$
$\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$
$x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{0}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm 0}{2}$
$x_1 = x_2 = 1$

$S=\mathbb{R}$

Ex 3: Resolver, em $\mathbb{R}$ , a inequação $x^2 - 2x + 2 < 0$ .

$x^2 - 2x + 2 = 0$
$\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot 2 = 4 - 8 =- 4$
Não existem raízes reais.

$S = \left \{ \,\,\,\, \right \}$

Sistemas de inequações

Passo 1) Resolve cada inequação separadamente;
Passo 2) Faz a interseção das soluções em cada inequação do Passo 1.

Exemplo
Resolver, em $\mathbb{R}$ , o sistema de inequações $\left\{\begin{matrix} x^2-1>0\\ x^2-2x\leq 0 \end{matrix}\right.$ .

Chamaremos de $(i): x^2- 1 > 0$ e $(ii): x^2 - 2x \leq 0$ .

$(i): x^2- 1 > 0$
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1 \Rightarrow x = - 1\, \text {ou }x = 1$

$S_{(i) }= \left \{ x\,\epsilon \, \mathbb{R} | x < - 1\, ou\, x > 1 \right \}$

$(ii): x^2- 2x < 0$
$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \, \text {ou }x = 2$

$S_{(ii) }=\left \{ x\,\epsilon \, \mathbb{R} | 0 \leq x \leq 2 \right \}$

A solução geral $S = S_{(i)}\cap S_{(ii)}$

$S = S_{(i)}\cap S_{(ii)}=\left \{x \,\epsilon \, \mathbb{R} | 1 < x \leq 2 \right \}$

Inequação Produto

Inequações que trazem um produto de funções no primeiro membro da desigualdade são chamadas de Inequações Produto. Para resolvê-las, deve-se estudar os sinais de cada função isoladamente e, por fim, analisar o produto desses sinais através de um quadro de sinais.

Exemplo
Resolver, em R, a inequação $(2x - 6)\cdot (-x + 1) \leq 0$ .

$2x - 6 = 0$
$2x = 6$
$x = 3$

II.

$- x + 1 = 0$
$- x = -1$
$x = 1$

III.

$S = \left \{x \,\epsilon \, \mathbb{R} |x\leq 1\, \text {ou }x \geq 3 \right \}$

Inequação Quociente

Inequações que trazem um quociente de funções no primeiro membro da desigualdade são chamadas de Inequações Quociente. Para resolvê-las, deve-se estudar os sinais de cada função isoladamente e, por fim, analisar o quociente desses sinais através de um quadro de sinais.

Exemplo
Resolver, em $\mathbb{R}$ , a inequação $\frac{x^2+ 4x-5}{- 2+x}>0.$

$x^2 + 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = - 1\text{ ou }x = 5$

II.

$- 2 + x = 0 \Rightarrow x = 2$

III.

$S = \left \{x\, \epsilon \,\mathbb{R} |- 1 < x < 2\, \text{ou}\,x > 3 \right \}$

Aplicações

As inequações do tipo potência podem ter suas etapas minimizadas com a seguinte dica.

Vamos tomar por exemplo a seguinte inequação produto:

$\left [ f(x) \right ]^n\cdot \left [ g(x) \right ]^m>0$

Para $n$ par, os sinais que serão colocados na tabela de sinais deverão ser sempre positivos. Para $n$ ímpar, os sinais que serão colocados na tabela de sinais deverão ser os mesmos do estudo dos sinais da função.

Atenção
Esse tipo de análise servirá para qualquer tipo de inequação do tipo produto, quociente ou uma simples inequação.