Resumo de matematica: Função Modular II - Inequações modulares

INEQUAÇÃO MODULAR

As desigualdades que apresentam a incógnita dentro do módulo, são chamadas de Inequações Modulares. Para resolver esse tipo de inequação, pode-se utilizar a seguinte propriedade:

$| x | < k \Rightarrow - k < x < k, \,\text {para }k > 0$

$| x | > k \Rightarrow x < -k \,\text{ou }x> k, \,\text {para }k > 0$

Exemplo

Resolver, em $\mathbb{R}$ , as inequações a seguir:

a) $\left | 5x-3 \right |<12$

$- 12 < 5x - 3 < 12$

$\left\{\begin{matrix} 5x-3<12 & \Rightarrow &x<3 \\ &e\\ 5x-3>-12 & \Rightarrow & x>-95 \end{matrix}\right.$

$S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R}; -95<x<3 \right \}$

b) $|1- x| \geq 1$

$\left\{\begin{matrix} 1-x<-1 & \Rightarrow &x\geq 2 \\ &ou\\ 1-x\geq 1 & \Rightarrow & x\leq 0 \end{matrix}\right.$

$S=\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R};x\leq 0\,\text{ou} \,x\geq 2\right \}$

INEQUAÇÃO MODULAR - Outros exemplos

As desigualdades que apresentam a incógnita dentro do módulo, são chamadas de Inequações Modulares. Para resolver esse tipo de inequação, pode-se utilizar a seguinte propriedade:

$| x | < k \Rightarrow - k < x < k,\, \text{ para }k > 0$

$| x | > k \Rightarrow x < - k \,\text{ou }x > k, \, \text{para }k > 0$

Exemplos

1. (Espcex 2014) Se $Y=\left \{ y\,\epsilon \,\mathbb{R}\,\text{tal que}\, 6y-1\geq 5y-10 \right \}$ , então:

a) $Y=]-\infty ,16]$
b) $Y=\{-1\}$
c) $Y=\mathbb{R}$
d) $Y=\phi$
e) $]16,+\infty [$

Resolução

Gabarito: Letra c

2. (CFTMG 2012) O conjunto dos números reais que tornam a função $f(x)=\left |x^2-4x \right |$ maior que 5 é

a) $\varnothing$ .
b) $\mathbb{R}$ .
c) $\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R}/-1<x<5 \right \}$ .
d) $\left \{ x\,\epsilon \,\mathbb{R}/x<-1\,\text{ou}\, x>5 \right \}$ .

Resolução

Gabarito: letra d

3. (EFOMM 2020) A inequação $|x|+|2x-8| \leq |x+8|$ é satisfeita por um número de valores inteiros de $x$ igual a

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Resolução

Do enunciado,

$f(x)=\left\{\begin{matrix} -2x+16 & \text{se}\,x<-8\\ -4x& \text{se}\,-8\leq x<0 \\ -2x& \text{se}\,0\leq x<4\\ 2x-16 & \text{se}\, x\geq 4 \end{matrix}\right.$

Daí,

Do gráfico, os valores inteiros que satisfazem a desigualdade dada é:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8.

Portanto, a desigualdade dada é satisfeita para 9 valores inteiros de x.

Gabarito: Letra e