JUROS

 

Denominamos de juros o rendimento de um capital empregado a uma taxa, durante certo tempo. 

Vejamos os seus elementos:

 

CAPITAL ( C )	É a quantia que se empresta, também chamada de principal.
MONTANTE ( M )	É a soma do capital empregado com o juro obtido, M = C + J
TAXA ( i )	É a taxa percentual referente a um intervalo de tempo, onde os juros são calculados.
TEMPO ( t ou n)	É o período durante o qual o capital fica aplicado. O tempo pode ser dado em dias, meses ou anos.

   

OBSERVAÇÕES 

 

• Para efeito de cálculos, as unidades da taxa e do tempo devem ser iguais. Caso contrário, deve-se igualar utilizando o calendário comercial. 

 

1 ano 360 dias ou 1 mês 30 dias

 

• Para a transformação das unidades de tempo e taxa, sugere-se que passe a unidade do tempo para a unidade da taxa.

Exemplo 

Se a taxa estiver ao mês e o tempo estiver for de 2 anos, então esse tempo passará a ser de 24 meses.

 

DICA 1

O cálculo dos juros inicial será calculado sempre sobre o que se deve.

 

DICA 2

O dinheiro não fica parado ao longo do tempo quando o assunto é JUROS.

 

JUROS SIMPLES

Uma capitalização simples (ou capitalização a juros simples) consiste na aplicação de um capital a uma taxa que gera, num determinado espaço t de tempo (dia, mês, ano, ...), juros constantes em cima do capital inicial. 

Considere Jn o juros de uma aplicação no tempo n, assim esse cálculo será dado por Jn = i% . C

Exemplo

Um sofá na loja custa R$ 1.200,00 e foi pago em 4 meses a uma taxa de 10% mensal. Calculando os juros mês a mês na capitalização simples, temos:

1º)   
2º)   
3º)   
4º)   
     _________________
     Juros Total = 480,00

O valor total pago na compra do sofá é dado por: 

M = C + J

 Substituindo temos: M = 1200 + 480 = 1680,00.

O valor de cada parcela é de 1680/4 = 420,00.

Pensando no valor total dos juros num determinado tempo t, temos:
 
J = C . i% . t

• J: juros gerados pela aplicação;
• C: capital aplicado;
• i%: taxa;
• t: tempo.

Aplicando a fórmula de juros no exemplo, temos:

J = 1200 . 0,10 . 4
J = 480,00

OBSERVAÇÃO

O montante (M) em função do tempo (t) pode ser dado pela relação M = C ( 1 + i% . t).

Aplicando a fórmula de montante no exemplo, temos:

M = 1200 ( 1 + 0,10 . 4)
M = 1200 . 1,40
M = 1680
 

JUROS COMPOSTOS

Uma capitalização composta (ou capitalização a juros compostos) consiste na aplicação de um capital a uma taxa que gera, num determinado espaço t de tempo (dia, mês, ano, ...), juros calculados sobre o montante do período anterior.

Considere Jn o juros de uma aplicação no tempo n, assim esse cálculo será dado por J_n = i% . Mn – 1

Exemplo

Um sofá na loja custa R$ 1.200,00 e foi pago em 4 meses a uma taxa de 10% mensal. Calculando os juros mês a mês na capitalização composta, temos:

1º)   
2º)    
3º)    
4º)    
     _________________
     Juros Total = 556,92

O valor total pago na compra do sofá é dado por: 

M = C + J

 Substituindo temos: M = 1200 + 556,92 = 1756,92.

O valor de cada parcela é de 1756,92/4 = 439,23.

Pensando no valor total dos juros num determinado tempo t, temos:
 
J = M – C 
 

• J: juros gerados pela aplicação;
• C: capital aplicado;
• M: montante

OBSERVAÇÃO

De um modo geral, fazendo o cálculo, período a período, temos:

• No final do 1º período, o montante será:

      
      M₁ = C + Ci       ou       M₁ = C( 1 + i )

• No final do 2º período, o montante será:

M₂ = M₁ + M₁.i     ou     M₂ = C( 1 + i )²

• No final do 3º período, o montante será:

M₃ = M₂ + M₂.i     ou     M₃ = C( 1 + i )³ 

         
No final do período t, o montante será:

M = C . (1 + i)^t

• M: montante gerado pela aplicação;
• C: capital aplicado;
• i%: taxa;
• t: tempo.

Aplicando no exemplo, temos:

M = 1200 . (1 + 0,10)⁴
M = 1200 . 1,4641        →     M = 1756,92

 

DICA 1 

Se o problema sugerir uma capitalização em etapas é importante avaliar qual o capital em cada uma dessas etapas. As vezes esse tipo de exercício faz com que o capital de uma segunda etapa seja o montante da primeira etapa. 

DICA 2

Sempre que for possível escreva valores com o menor número de incógnitas. Isso provocará uma diminuição expressiva de etapas na resolução.

Exemplo
Se a soma de dois valores é igual a R$ 1.000,00, então ao invés de escrever X + Y = 1000, pode escrever X e 1000 – X.

DICA 3 

O juros de uma aplicação é obtido sempre fazendo M (montante) – C (capital) em cada período considerado. 
 

 

AMORTIZAÇÃO 

Muitas vezes uma determinada dívida não é possível que seja paga de uma só vez por seu credor, mas é possível que ela seja paga de maneira gradual. Esse processo chamaremos de AMORTIZAÇÃO do valor devido.

Exemplo
O valor de R$ 2.000,00 foi pego emprestado com taxa de juros mensal de 10% incidido sobre o valor em débito do mês anterior. Sabe-se que essa pessoa fez três pagamentos em meses consecutivos, de maneira que os valores foram R$ 500,00, R$ 170,00 e R$ X. Calcule o valor de X.

Parcela	Pagamento	Juros	Amortização	Saldo devedor
0	-	-	-	2000
1	500	200	300	1700
2	170	170	0	1700
3	X	170	1700	0

Os juros (J) são sempre calculados sobre o saldo devedor do período anterior. Assim,

J₁ = 10% . 2000 = 200
J₂ = 10% . 1700 = 170
J₃ = 10% . 1700 = 170

A amortização (A) em cada etapa será a diferença entre o valor do pagamento e o valor dos juros.

A₁ = 500 – 200 = 300
A₂ = 170 – 170 = 0 (pagou somente o juro)
A₃ = X – 170

Portanto, para a dívida ser paga, é necessário que X – 170 seja igual a 1700, ou seja, X = 1870.

OBSERVAÇÃO

Uma dívida poderá ser paga de maneira antecipada em qualquer momento, mas é necessário que seja retirado os juros até aquela data.

Exemplo
Uma dívida V que foi contraída para pagamento final em 4 meses quer ser paga três meses antes da data final do pagamento cujo os juros foram calculados de maneira cumulativa (JUROS COMPOSTOS) de i%. Determine a expressão que permite o valor do pagamento com três meses de antecipação.

Sendo X o valor na data do pagamento.