Resumo de matematica: Matrizes - aprofundamento

Propriedades das Matrizes I

Algumas operações matriciais possuem propriedades idênticas às operações com números reais, mas também existem operações matriciais que possuem propriedades diferentes das propriedades dos números reais. Por exemplo, a adição de matrizes, assim como a adição de números reais, obedece à propriedade da comutatividade, ou seja, A + B = B + A, desde que sejam possíveis essas somas.
Dadas as matrizes A, B e C, de mesma ordem, as principais propriedades da adição de matrizes são:
I. Associativa: $A + (B + C) = (A + B) + C$ ;
II. Comutativa: $A + B = B + A$ ;
III. Elemento Neutro: Existe a matriz M, tal que, $A + M = M + A = A$ e chamamos M de matriz nula, na qual todos os seus elementos são nulos;
IV. Elemento Simétrico: Existe a matriz A’, tal que $A + A' = M$ e chamamos a matriz $A'$ de matriz oposta de $A$ .

Propriedades das Matrizes II

A multiplicação de um número real por matriz é muito simples. Basta multiplicar o número por todos os elementos da matriz. As principais propriedades na multiplicação de números reais, sendo “a” e “b” dois números reais e A e B matrizes de ordem m x n, são:
I. $a(bA) = (ab)A$
II. $a(A + B) = aA + aB$
III. $(a + b)A = aA + bA$
IV. $1A = A$
A demonstração da propriedade III é:
$(a+b)A=(a+b)\begin{bmatrix} a_{11}& \cdots & a_{1n} \\ \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1}& \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

$(a+b)A=\begin{bmatrix}(a+b) a_{11}& \cdots & (a+b) a_{1n} \\ \vdots &\ddots & \vdots \\ (a+b) a_{m1}& \cdots & (a+b) a_{mn} \end{bmatrix}$

$(a+b)A=\begin{bmatrix}a\cdot a_{11}+b\cdot a_{11}& \cdots & a\cdot a_{1n}+b\cdot a_{1n} \\ \vdots &\ddots & \vdots \\ a \cdot a_{m1}+b\cdot a_{m1}& \cdots & a\cdot a_{mn}+b\cdot a_{mn} \end{bmatrix}$
$(a+b)A=\begin{bmatrix}a\cdot a_{11}& \cdots & a\cdot a_{1n} \\ \vdots &\ddots & \vdots \\ a \cdot a_{m1}& \cdots & a\cdot a_{mn} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} b\cdot a_{11}& \cdots & b\cdot a_{1n} \\ \vdots & \ddots &\vdots \\ b\cdot a_{m1} & \cdots & b\cdot a_{mn} \end{bmatrix}$

$(a+b)A=a\begin{bmatrix} a_{11}& \cdots & a_{1n} \\ \vdots &\ddots & \vdots \\ a_{m1}& \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}+ b \begin{bmatrix} a_{11}& \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} =aA+bA$

Propriedades das Matrizes III

Diferente da multiplicação com números reais, a multiplicação com matrizes exige mais cuidado, pois nem sempre é possível efetuar esta operação com duas quaisquer matrizes. Se quisermos multiplicar uma matriz $A$ , de ordem $m\, x\, n$ , por uma matriz B, de ordem $p\, x\, q$ , é necessário que $n=p$ .
As principais propriedades da multiplicação de matrizes são:
I. Associativa: $A(BC) = (AB)C$ , de maneira que $A$ , $B$ e $C$ tenham ordens $m\, x\, p$ , $p\, x\, q$ e $q\, x\, n$ , respectivamente;
II. Distributiva pela esquerda: $A(B + C) = AB + AC$ , sendo que $A$ , $B$ e $C$ devem ter ordens $m\, x\, p$ , $p\, x\, q$ e $q\, x\, n$ , respectivamente;
III. Distributiva pela direita: $(B + C)A = BA + CA$ , sendo que $A$ , $B$ e $C$ devem ter ordens $m\, x\, p$ , $p\, x\, q$ e $q\, x\, n$ , respectivamente;
IV. Se “a” é um número real e $A$ e $B$ são matrizes de ordens $m\,x\, n$ e $n\,x\, p$ , respectivamente, então $a(AB) = (aA)B = A(aB)$ .

Álgebra de Matrizes. (Exercício Resolvido)

Apesar se não ser muito complicada a multiplicação de matrizes, alguns exercícios são bem trabalhosos. Vamos resolver a questão abaixo (ITA – 2021).
Seja A uma matriz real quadrada de ordem 2 tal que

Desenho com traços pretos em fundo branco

Descrição gerada automaticamente com confiança média

Então, determine o traço da matriz A.
Solução
Seja $A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$ , temos:
$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x\\ y& 0 \end{pmatrix}$ , que é o mesmo que $\begin{pmatrix} a+3b & 2a+4b\\ c+3d & 2c+4 d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x\\ y& 0 \end{pmatrix}$ , e também
$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & 3\\ y+1& 1 \end{pmatrix}$ , que é o mesmo que $\begin{pmatrix} 2a+4b & 3a+5b\\ 2c+4d & 3c+5d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & 3\\ y+1& 1 \end{pmatrix}$ .
Igualando as matrizes, termo a termo, nos dois casos, chegamos ao sistema:

$\left\{\begin{matrix}a+3b=1 \\ 2a+4b=x \\ c+3d=y\\ 2c+4d=0\\ 2a+4b=x\\3a+5c=3 \\2c+4d= y+1\\ 3c+5d=1\end{matrix}\right.$

Resolvendo o sistema, obtemos $a = 1$ , $b = 0$ , $c = 2$ e $d = -1$ . Portanto, o traço de $A$ é $1 + (- 1) = 0$ .

Matriz Simétrica e Matriz Antissimétrica

Uma matriz $A$ é simétrica quando:
$A^t=A$ ,
sendo At a matriz transposta de $A$ . Com isso, uma matriz simétrica pode ter quaisquer elementos em sua diagonal principal, enquanto que os demais elementos $(a_{ij})$ , com $i\neq j$ , devem ser iguais aos seus simétricos em relação à diagonal principal, ou seja, $a_{ij}=a_{ji}$ . Um exemplo de matriz simétrica é:

$\begin{bmatrix} 1 & 5 & 3\\ 5 & -6 & 0 \\ 3 & 0 & 17 \end{bmatrix}$ .

Já uma matriz B é antissimétrica quando:

$B^t=-B$ .

Com isso, uma matriz antissimétrica só pode ter zero com elemento da diagonal principal e os demais elementos devem ser opostos aos seus simétricos em relação à diagonal principal, ou seja, $a_{ij}=-a_{ji}$ , se $i\neq j$ , e $a_{ij}=0$ , se $i = j$ . Um exemplo de matriz antissimétrica é:

$i = j\begin{bmatrix} 0 &-5 &3 \\ 5 & 0 &0 \\ -3 &0 &0 \end{bmatrix}$ .

Álgebra de Matrizes. (Exercício Resolvido)

Alguns problemas que envolvem equação matricial são mais complicados, pois não se conhece os valores dos elementos das matrizes. Por exemplo, como determinar o valor do determinante de A na equação abaixo, sabendo que A é uma matriz quadrada, inversível e de ordem ímpar?

$A^t=-A^2$

Solução:
Temos que

$A^t=-A^2$
$det(A^t)=det(-A^2)$
$det(A)=det(-A)\cdot det(A)$
$1=det(-A)$
$1=(-1)^ndet(A)$
$det(A)=1$ .

Matriz escalonada (Matriz de Vandermond)

A matriz de Vandermond é quadrada e da forma
1 1 1 a b c a2 b2 c2 1 k k2 an bn cn kn
Seu determinante pode ser encontrado pela expressão
b-ac-ak-ac-bk-b,
ou seja, pelo produto das diferenças de cada termo pelo que está a sua esquerda, por exemplo
1 1 1 2 3 4 22 32 42 1 5 52 23 33 43 53 =3-24-25-24-35-35-4=1∙2∙3∙1∙3∙1=18.

Matrizes linha-equivalentes. (Exercícios Resolvidos)

O cálculo do determinante de matrizes de ordem superior a 3 é muito complexo. Os métodos mais comuns são o Teorema de Laplace e a Regra de Chió. No primeiro caso é interessante que se tenha uma linha ou uma coluna com muitos zeros, enquanto que no segundo devemos ter pelo menos um elemento igual a 1. Um recurso muito interessante para obtermos tanto zeros em uma linha ou coluna quanto 1 em alguma posição é o Teorema de Jacobi, que consiste em multiplicar uma linha ou coluna por um número, sem alterá-la, e somar o resultado em uma outra linha ou coluna da matriz (se multiplicar linha, deve somar com linha, e se multiplicar coluna deve somar com coluna. E isto não altera o determinante.
O Teorema de Jacobi também é interessante para outras situações no cálculo de determinantes. Vamos a um exemplo:
Qual o determinante da matriz $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 &1 \\ 0 & 4 & 3 &2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ ?
Solução:
Vamos utilizar o Teorema de Jacobi, multiplicando a 4ª coluna por (-1) e somando o resultado na 3ª coluna. Com isso, chegamos à

$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 &1 \\ -4 & 4 & 1 &2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Assim, obtemos uma matriz triangular, cujo determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, ou seja,
$det(A)=1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=1$ .

Posto ou Característica de uma Matriz

A característica de uma matriz é o número de linhas não nulas de sua matriz linha-equivalente escalonada. Para se obter a matriz linha-equivalente escalonada é preciso fazer algumas alterações, de maneira que a quantidade de zeros antes do primeiro algarismo significativo de cada linha seja sempre maior que o da linha anterior. Alterações que podem ser feitas, obtendo uma matriz linha-equivalente são:
I. Trocar duas linhas de lugar;
II. Multiplicar uma linha por um número real;
III. Substituir uma linha pela soma de outra linha com ela.
   Por exemplo, qual a característica da matriz $B=\begin{bmatrix} 1 & 3 &3 \\ 1 & -6 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ ?
   Solução:
   Vamos fazer as modificações:
1. Multiplicar a 1ª linha por (-1):   $\begin{bmatrix} -1 & -3 &-3 \\ 1 & -6 & 0\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$
2. Substituir a 2ª linha pela soma dela com a 1ª linha:   $\begin{bmatrix} -1 & -3 &-3 \\ 0 & -9 & -3\\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$
3. Substituir a 3ª linha pela soma dela com a 1ª linha: $\begin{bmatrix} -1 & -3 &-3 \\ 0 & -9 & -3\\ 0 & -3 & -1 \end{bmatrix}$
4. Multiplicar a 3ª linha por (-3): $\begin{bmatrix} -1 & -3 &-3 \\ 0 & -9 & -3\\ 0 & 9 & 3 \end{bmatrix}$
5. Substituir a 3ª linha pela soma dela com a 2ª linha:   $\begin{bmatrix} -1 & -3 &-3 \\ 0 & -9 & -3\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
   Pronto! Esta é a matriz linha-equivalente escalonada, pois a cada linha a quantidade de zeros antes do 1º significativo aumenta a cada linha. Como o número de linhas não nulas é 2, esse é o valor da característica da matriz B.

Teorema de Rouché-Capelli

Um método de discussão de sistema linear é Rouché-Capelli, no qual analisamos a matriz dos coeficientes das incógnitas (matriz incompleta A) e esta matriz acrescida dos temos independentes (matriz completa B). Após o escalonamento de ambas as matrizes, encontramos suas características $p(A)$ e $p(B)$ . Se $p(A) = p(B) = n$ , no qual n é o número de equações do sistema, então o sistema é possível e determinado; se $p(A) = p(B) < n$ , então o sistema é possível e indeterminado; mas se $p(A) < p(B)$ , o sistema é impossível.
Por exemplo, vamos discutir o sistema $\left\{\begin{matrix} 2x+3y+2z=5\\ x-2y-z=3 \\ 3x+y+z=8 \end{matrix}\right.$ .
A matriz incompleta é $A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 2\\ 1 & -2 & -1\\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ e uma matriz linha-equivalente escalonada de A é $\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1\\ 0 & -7 & 4\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ , ou seja, $p(A) = 2$ . A matriz incompleta $B=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 2 & 1\\ -2& -1 & 3 & 1\\ 1 & 3 & 5 & 8 \end{bmatrix}$ e uma matriz linha-equivalente escalonada de B é $\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 & 0\\ 7& 4 & 0 & 0\\ 0 & 3 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ , ou seja, $p(B) = 2$ . Como o sistema tem 3 equações $(n = 3)$ , então $p(A) = p(B) < n$ . Portanto, o sistema é possível indeterminado.

Método de inversão de Gauss.

Um método interessante para determinação da matriz inversa é o Método de Gauss-Jordan, no qual faz-se algumas alterações nas linhas da matriz em questão juntamente com a matriz identidade. Nessas alterações, pode-se multiplicar uma linha por um número real qualquer ou usar o Teorema de Jacobi.
Vamos determinar a inversa da matriz $A=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ :
Inicialmente, vamos construir a matriz $\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ .
Multiplicando a 1ª linha por (-1) e somando o resultado na 2ª linha:

$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

Multiplicando a 2ª linha por 2 e somando o resultado na 1ª linha:

$\begin{bmatrix} -1 & 2\\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

Multiplicando o 2ª linha por 2:

$\begin{bmatrix} -1 & 2\\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

Perceba que encontramos a matriz identidade à esquerda, com isso, à direita chegamos à matriz inversa, ou seja,

$A^{-1}=\begin{bmatrix} -1 & 2\\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

Método de inversão de Gauss. (Exercícios Resolvidos)

A discussão de sistemas lineares com parâmetros pode ser feita associando a regra de Cramer com o escalonamento do sistema. Para que o sistema seja possível determinado (SPD), basta que o determinante seja diferente de zero. Mas quando o determinante é igual a zero, substituímos o parâmetro pelo valor correspondente e discutimos usando o escalonamento.
Por exemplo, vamos discutir o sistema $\left\{\begin{matrix} ax+y=4\\ 3x-y=b \end{matrix}\right.$ .
Calculando o determinante principal, encontramos:

$D_p=\begin{vmatrix} a & 1\\ 3 & -1 \end{vmatrix}=-a-3$

Assim, se $D_p\neq 0$ , ou seja, $a\neq -3$ , o sistema é possível determinado. Agora, vamos substituir a por – 3 no sistema:

$\left\{\begin{matrix} -3x+y=4\\ 3x-y=b \end{matrix}\right.$

Somando as equações, chegamos a

$0=b+4$ ,

o que significa que se $b=-4$ , o sistema é possível indeterminado, mas se $b\neq -4$ , então o sistema é impossível.