Resumo de matematica: Matrizes e Determinantes (Determinantes) II

Regra de Sarrus. Teorema de Jacobi. Regra de Chió. (Propriedades)

O cálculo de determinantes muitas vezes é muito complicado e demorado. Mas algumas matrizes possuem “algo especial” que permite calcular seus determinantes de forma muito rápida. Vamos verificar algumas dessas propriedades:

Linha ou coluna nula: sempre que uma linha ou coluna for nula, o determinante é zero;
Linhas ou colunas iguais: sempre que duas linhas ou colunas forem iguais, o determinante é zero;
Linhas ou colunas proporcionais: sempre que duas linhas ou colunas forem proporcionais, o determinante é zero;
Combinação Linear: sempre que uma linha ou coluna for a combinação linear de outras linhas, ou colunas, o determinante é zero;
Matriz Triangular: o determinante da matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal;
Troca de linha ou coluna: quando trocamos duas linhas ou duas colunas de posição, o determinante muda o sinal;
Produto da linha ou coluna por um número: quando multiplicamos uma linha ou coluna por um número, o determinante fica multiplicado por este mesmo número;
$det\left ( k\cdot A_n \right )=k^n\cdot det(A)$ : se multiplicamos uma matriz toda por uma constante, o determinante de uma matriz de ordem n fica multiplicado por esta constante n vezes;
$det\left ( A^t \right )=det(A)$ : o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz;
Teorema de Binet: $det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)$ ;
$det\left (A^{-1} \right )=\frac{1}{det(A)}$ : o determinante da inversa de uma matriz é o inverso do determinante da matriz. Isto implica que a matriz admite inversa apenas se $det(A)\neq 0$ .

Matriz Inversa - Regra Prática

Uma das maneiras de calcularmos a matriz inversa de uma matriz quadrada qualquer é usar a relação A∙A-1=I, na qual A-1 é a matriz inversa da matriz A e I é a matriz identidade. Como procuramos a matriz inversa, utilizamos incógnitas para cada um dos elementos, por exemplo, se a matriz A tem ordem 2, nossa matriz A-1 será a b c d , sendo a, b, c, d são incógnitas. Multiplicando as duas matrizes e igualando à matriz identidade, chegamos a dois sistemas lineares com duas incógnitas cada. Perceba que é um método um pouco complicado e trabalhoso.

Mas existe uma regra prática para o cálculo da matriz inversa de uma matriz de ordem 2. São 3 passos:

Calculamos o determinante da matriz;
Trocamos os elementos da diagonal principal de posição e trocamos os sinais dos elementos da diagonal secundária;
Dividimos todos os elementos pelo determinante da matriz.

Por exemplo, para o cálculo do determinante da matriz $B=\begin{bmatrix} 2 & 5\\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ , seguiremos a sequência:

$det(B)=8-5=3$ ;
$\begin{bmatrix} 4 & 5\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ ;
$B^{-1}=\begin{bmatrix} \frac{4}{3} & \frac{5}{3}\\ \frac{1}{3} &\frac{ 2}{3} \end{bmatrix}$ .

Exercícios Resolvidos

A relação entre duas matrizes inversas é

$A\cdot A^{-1}=I$ ,

sendo $A^{-1}$ a matriz inversa de A e I a matriz identidade. Usando o Teorema de Binet nesta equação, temos:

$det \left (A \cdot A^{-1} \right )= det(I)$
$det \left (A \right ) \cdot det(A^{-1})=1$
$det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$

Com isso, mostramos que o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz e, consequentemente, para existir a matriz inversa o determinante da matriz deve ser diferente de zero. Chamamos a matriz que possui inversa de inversível ou invertível.