Resumo de matematica: Matrizes e Determinantes (Matrizes)

Conceitos Iniciais e Matrizes Especiais

Para a construção de uma matriz, é dado sempre uma “fórmula” na qual encontraremos o valor numérico (ou algébrico) de cada termo, em função da posição deste termo, ou seja, em função da linha e da coluna às quais pertencem. Por exemplo, para construir a matriz

$A=(a_{ij})_{3x2},$ tal que $a_{ij}=2i-j$ ,

devemos utilizar a relação $a_{ij}=2i-j$ para encontrarmos cada termo da matriz. Como a matriz tem ordem (3 x 2), ou seja, 3 linhas e 2 colunas, podemos representá-la por:

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21}&a_{22} \\ a_{31}& a_{32} \end{bmatrix}$

Basta agora calcularmos cada termo utilizando a “fórmula” dada no problema. Com isso, chegamos a:

$A=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3&2 \\ 5& 4 \end{bmatrix}$ .

Matriz Transposta e Operações com Matrizes

Enquanto que as operações entre números possuem pouquíssimas restrições, as mesmas operações entre matrizes é muito mais complexas, nem sempre sendo possível realizar adição, subtração ou multiplicação entre duas matrizes. No caso da adição e subtração entre matrizes, elas devem ter a mesma ordem e a operação é realizada entre termos correspondentes, ou seja, primeiro com primeiro, segundo com segundo, e assim por diante.

No caso da multiplicação, é ainda mais complexo, de maneira que, para que seja possível a multiplicação entre duas matrizes, é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. Um fato muito importante é que NÃO existe divisão entre matrizes.

Propriedades de matrizes. PARTE 1 (Matrizes Inversas)

Como não existe divisão entre matrizes, utilizamos a matriz inversa para resolver equações do tipo $A\cdot X=B$ , na qual A e B são matrizes conhecidas e X é a matriz que estamos à procura. E como este processo é realizado? Vamos lá:
Seja $A^{-1}$ a matriz inversa da matriz A. Temos:

$A \cdot X=B$ ,

na qual vamos multiplicar pela esquerda (isto é muito importante pois a propriedade comutativa não é válida para multiplicação de matrizes) por $A^{-1}$ ,

$A^{-1} \cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B$ ,

e como sabemos que $A^{-1}\cdot A =I$ , obtemos

$I\cdot X=A^{-1} \cdot B$

e, consequentemente, chegamos a

$X=A^{-1}\cdot B$ ,

Pois a matriz identidade é o elemento neutro na multiplicação de matrizes. Com isso, concluímos que, para encontrarmos X basta multiplicarmos a inversa de A pela matriz B.

Propriedades de matrizes. PARTE 2 (Matrizes: Exercícios Resolvidos)

Em alguns problemas é necessário construir as matrizes antes de realizar as operações. Vejamos um exemplo:

Determine $A\cdot B$ , sendo $A= (a_{ij})_{2x2}$ , na qual $a_{ij}=i^j$ , e $B= (b_{ij})_{2x2}$ , na qual $b_{ij}=3i-2j$ .

Primeiro precisamos construir as matrizes:

$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1^1 & 1^2\\ 2^1 & 2^2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\cdot1-2\cdot1 & 3\cdot1-2\cdot2\\ 3\cdot3-2\cdot1& 3\cdot2-2\cdot2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 4 & 2 \end{bmatrix}$

Basta agora multiplicarmos:

$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 2 &4 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 4& 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5 & 1\\ 18 & 6 \end{bmatrix}$