Resumo de matematica: Trigonometria - Ciclo Trigonométrico

Razão entre o comprimento e o diâmetro. Comprimento de um arco. Radiano. Arco e ângulo central: graus e radianos.

Arco de circunferência é uma parte de uma circunferência. A medida de um arco pode ser expressa por unidade de comprimento (centímetro, metro, kilômetro) ou por unidade angular, pois cada arco corresponde a um ângulo central na circunferência. Essa medida angular pode ser dada em grau ou em radiano.

Um radiano corresponde à medida de um ângulo central que corresponde a um arco que mede (comprimento) o mesmo que o raio dessa circunferência. Assim, como o comprimento de uma circunferência pode ser medido por $2\pi r$ , sendo r a medida do raio da circunferência, $2\pi$ radianos corresponde a uma volta completa, ou seja, $2\pi$ radianos corresponde a 360° e, de uma forma mais simples, $\pi$ radianos corresponde a 180°.

Definição. Arcos em graus. (Ciclo Trigonométrico - Conceitos Iniciais)

Para encontrar a primeira determinação de um arco no ciclo trigonométrico, basta dividir o valor desse arco por 360° e teremos o valor do resto como a primeira determinação deste arco. Caso o arco seja um valor negativo, repetimos o processo, mas o resto encontrado também será negativo, o que significa que deveremos adicionar 360° ao resto e obteremos a primeira determinação do arco.

No caso de medidas em radianos, o processo é muito parecido com o que fazemos com arcos em graus. Lembremos que $2\pi$ radianos corresponde a 360°, ou seja, uma volta completa, então basta separar do valor total do arco quantas vezes forem possíveis o “ $2\pi$ ”. Por exemplo, se o arco mede $\frac{25\pi }{4}$ , temos:

$\frac{25\pi }{4}=\frac{24\pi+\pi}{4}=6\pi+\frac{\pi}{4}$

Com isso, temos que sua primeira determinação é $\frac{\pi}{4}$ .

Definição. Arcos em radianos. (Seno e Cosseno no Ciclo Trigonométrico)

Sabemos os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis do ciclo trigonométrico (30°, 45° e 60°), sendo que todos pertencem ao 1º quadrante. Mas podemos saber os valores das razões trigonométricas de outros arcos do ciclo trigonométrico, tendo como base os que já conhecemos. Trata-se dos arcos simétricos a estes arcos notáveis.

Para isso, devemos primeiro determinar qual o arco simétrico no 1º quadrante. Se o arco pertence ao 2º quadrante, devemos verificar “quanto falta para 180°”; se for do 3º quadrante, “quanto passou de 180°; e se for do 4º quadrante, “quanto falta para 360°. Por exemplo, 225° pertence ao 3º quadrante, o que implica que “passou 45° de 180°. Portanto, o simétrico de 225° no 1º quadrante é 45°.

Cosseno e seno de um arco. Graus. Radianos. (Tangente no Ciclo Trigonométrico)

Para o cálculo de razões trigonométricas de arcos que não pertence ao primeiro quadrante, devemos:

Reduzir o arco à sua primeira determinação, se for o caso;
Reduzir o arco encontrado ao 1º quadrante (seu simétrico);
Observar o sinal da razão trigonométrica no quadrante anterior à última redução;
Determinar o valor da razão.

Por exemplo, vamos determinar $sen\, 930^{\circ}$ :

Dividindo 930° por 360°, obtemos resto 210°, a primeira determinação do arco;
O simétrico de 210° no 1º quadrante é 30°, pois foi quanto “passou de 180°";
No 3º quadrante o seno é negativo;
$sen\, 930^{\circ}=sen\, 210^{\circ}= -sen\, 30^{\circ}= -\frac{1}{2}$ .

Cosseno e seno de um arco. Graus. Radianos. (Exercícios Resolvidos)

Vamos determinar o valor da secante, cossecante e cotangente do arco de 1740°:

Dividindo 1740° por 360°, obtemos resto 300°, que é a primeira determinação do arco;
O simétrico de 300° (4º quadrante) no 1º quadrante é 60°, pois foi quanto “falta para 360°";
No 4º quadrante o seno é negativo, cosseno é positivo e tangente é negativa, consequentemente, a cossecante é negativa, a secante é positiva e a cotangente é negativa;
Vamos agora ao cálculo de cada uma das razões:

$sec\,1740^{\circ}=sec\,300^{\circ}=sec\,60^{\circ}=\frac{1}{cos\,60^{\circ}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
$cossec\,1740^{\circ}=cossec,300^{\circ}=-cossec\,60^{\circ}=\frac{1}{-sen\,60^{\circ}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$cotg\,1740^{\circ}=cotg,300^{\circ}=-cotg\,60^{\circ}=\frac{1}{-tg\,60^{\circ}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Os problemas de ângulos formados pelos ponteiros de um relógio são dos mais clássicos sobre medidas angulares. Como o relógio é dividido em 12 horas, significa que cada hora percorrida pelo ponteiro das horas é $\frac{360^{\circ}}{12}=30^{\circ}$ . No caso do ponteiro dos minutos, cada minuto percorrido equivale a $\frac{360^{\circ}}{60}=6^{\circ}$ . A terceira situação a ser analisada é a medida angular percorrida pelo ponteiro das horas a cada minuto. Como são $30^{\circ}$ a cada hora, significa que a cada minuto, o ponteiro das horas percorre $\frac{30^{\circ}}{60}=0,5^{\circ}$ .

Por exemplo, às 2h20min o ponteiro dos minutos andou, a partir da referência (0h), $20\cdot6=120$ . E o ponteiro das horas andou $20\cdot30^{\circ}+20\cdot0,5^{\circ}=70^{\circ}$ . Portanto, o menor ângulo formado por estes dois ponteiros é $120^{\circ}-70^{\circ}=50^{\circ}$ .