Resumo de matematica: Função Modular I - Parte 1

Módulo de um número real e Propriedades

Definição

Dado um número real $x$ , chama-se módulo de $x$ , indicado por $\left |x \right |$ , o número real não negativo tal que:

$\left |x \right |=\left\{\begin{matrix} x, & \text{se} \,x\geq 0\\ -x & \text{se} \,x< 0 \end{matrix}\right.$

Exemplos

a) $|5| = 5$
b) $|0| = 0$
c) $|- 3| = 3$
d) $|a - 2| = a - 2$ , para $a\geq 2$
e) $|a - 2| = - a + 2$ , para $a<2$

Atenção

O módulo de um número, geometricamente, é representado numa reta real pela distância desse número até a origem da reta real (o número 0).

Propriedades do módulo

$I. |x| \geq 0,\forall \,x\,\epsilon \,\mathbb{R}$ ;
$II. |x| = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ;
$III. |x| \cdot |y| = |x \cdot y|, \forall \,x,y\,\epsilon \,\mathbb{R}$ ;
$IV. |x|^2 = x^2, \forall \,x\,\epsilon \,\mathbb{R}$ ;
$V. |x| = x^2, \forall \,x\,\epsilon \,\mathbb{R}$ ;
$VI. \left |\frac{x}{y} \right |=\frac{\left |x \right |}{\left | y \right |}, \forall \,x,y\,\epsilon \,\mathbb{R}\, \text {e}\,y \neq 0$ .

Definição, Gráficos e Propriedades

As funções que apresentam a variável $x$ dentro do módulo, são chamadas de Funções Modulares. O exemplo mais simples desse tipo de função é dado por $f(x)=\left | x \right |$ , cujo gráfico está representado abaixo.

Resultado de imagem para função módular

Propriedades

1. O domínio $(D)$ da função é real, ou seja, $D=\mathbb{R}$ .
2. A imagem $(Im)$ da função é todo real não negativo, ou seja, $Im = R^*$ .
3. A função é oscilante, ou seja, cresce no intervalo $x\geq 0$ e decresce no intervalo $x\leq 0$ .

Atenção

Os gráficos associados as funções modulares podem ser construídos utilizando a definição de módulo de um número real, ou seja,

$\left |x \right |=\left\{\begin{matrix} x, & \text{se} \,x\geq 0\\ -x & \text{se} \,x< 0 \end{matrix}\right.$ , para todo x real.

Análise e construção gráfica

Existem dois tipos de funções modulares cujos gráficos podem ser obtidos executando algumas etapas.

Tipos	Representação simbólica	Etapas
Módulo na função	$y=\left \| f(x) \right \|$	1. Construir o gráfico mais simples sem o módulo; 2. Conserva a parte positiva da função $(y)$ ; 3. Acrescenta o simétrico da parte positiva da função em relação ao eixo das abscissas.
Módulo em $x$	$y=f(\left \|x \right \|)$	1. Construir o gráfico mais simples sem o módulo; 2. Conserva a parte positiva do domínio $(x)$ ; 3. Acrescenta o simétrico do gráfico da etapa anterior em relação ao eixo das ordenadas.

Algumas funções modulares ainda podem ser apresentadas com adição ou subtração de módulos. Assim, a utilização da definição e uma organização de resultados pode fazer com que essa construção se torne viável e didática.

Exemplo

Construa o gráfico da função definida em $\mathbb{R}$ por $f(x) = |2x + 1| + |x - 1|$ .

$|2x + 1| =\left\{\begin{matrix} 2x+1, &\text{se} \,x\geq -\frac{1}{2} \\ -2x-1 & \text{se} \,x< -\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$ e $|x - 1| =\left\{\begin{matrix} x-1, &\text{se} \,x\geq 1 \\ -x+1 & \text{se} \,x< 1 \end{matrix}\right.$

$f(x) =\left\{\begin{matrix} -3x, &\text{se} \,x<-\frac{1}{2}\,\,\,\,\, \\ x+2 & \text{se} \,-\frac{1}{2}<x< 1 \\ 3x & \text{se} \,x\geq 1\,\,\,\, \end{matrix}\right.$