Fatoração

Por: Aline Ribeiro 

 

1. O que é fatoração: A palavra fatoração vem de fator. Fator é um elemento de uma multiplicação. Com isso podemos concluir que fatorar um número

ou uma expressão é transformá-la em fatores, em termos que participam de uma multiplicação.

 

Exemplo:  Fatore o número 126

Então o número 126 pode ser fatorado, como:   

 126 = 2. 3. 3. 7      

 

 2. Propriedade distributiva: Seja então :

a .(x + y) = a.x + a.y

Podemos ilustrar essa propriedade geometricamente:

Estamos interessados em saber a área dessa figura. Sabemos que a área será o tamanho da base vezes a altura, então:

A = (x + y) . a

Outra maneira de representar a área desse retângulo é somando as áreas dos dois retângulos de dentro (verde escuro e verde claro), então:

A= a.x + a.y

Como a área é a mesma, podemos concluir que:

a . (x + y) = a.x + a.y

Que é exatamente a nossa propriedade distributiva.

 

Exemplo: Determine o valor de  p.(m + n + o), sabendo que p.m = 5, p.n = 2 e p.o = 3.

Para facilitar os cálculos iremos usar a propriedade distributiva, então:

p.(m + n + o) = p.m + p.n  + p.o = 5. 2. 3 = 30

 

3. Fatoração por agrupamento: Considere a expressão:

a.x + a.y + b.x + b.y

Podemos observar que existem fatores comuns nessa expressão

a.x + a.y + b.x + b.y

O termo a repete nos dois primeiros e o termo b repete nos dois últimos, pensando nisso podemos colocá-los em evidência e fazer a volta da

propriedade distributiva: 

a.(x + y) + b.(x + y)

Mais uma vez temos um termo em comum, que é o (x + y). Assim como fizemos acima, também faremos aqui colocando o (x + y) em evidência.

(x + y).(a + b)

E essa é a fatoração por agrupamento.

 

Exemplo 1: Fatore a expressão:

 3a – 3b + ac – bc. 

Podemos observar que nos dois primeiros termos o 3 se repete e nos dois últimos o c, então:

3.(a - b) + c.(a - b)

(a - b).(3 + c)

Além dessa fatoração, também podemos considerar os termos alternados:

3a – 3b + ac – bc

a.(3 + c) - b.(3 + c)

(3 + c).(a - b)

 

Exemplo 2: Fatore completamente a expressão:

3x²y + 12x² - 3y - 12

Nesse exemplo podemos perceber que o 3 é múltiplo de todos os termos dessa expressão, então podemos colocá-lo em evidência da seguinte maneira:

3.(x²y + 4x² - y - 4)

Feito isso podemos continuar fatorando normalmente:

3.[x² .(y + 4) - 1 .(y + 4)]

3 . (y + 4) . (x² - 1)