Por: Aline Ribeiro
Produtos notáveis: São ferramentas para nos ajudar a fazer menos contas e poupar tempo na hora de resolver exercícios. Nesse módulo será mostrado
três produtos notáveis.
1. Quadrados perfeitos: Tome (a + b)², sabemos que essa expressão pode ser escrita como:
(a + b)² = (a + b).(a + b)
Usando a propriedade distributiva, temos:
(a + b)² = a.a + a.b + b.a + b.b
Reordenando os termos:
(a + b)² = a² +2.a.b + b²
Podemos ilustrar essa propriedade geometricamente:
Estamos interessados em saber a área dessa figura. Sabemos que a área será o tamanho da base vezes a altura, então:
A = (a + b)²
Outra maneira de representar a área desse quadrado é somando as áreas dos dois retângulos e dos dois quadrado de dentro, então:
A= a² + a.b + a.b + b² = a² + 2.a.b + b²
Como a área é a mesma, podemos concluir que:
(a + b)² = a² + 2.a.b + b²
Que é exatamente o nosso produto notável.
Para (a - b)² o processo é o mesmo e temos:
(a + b)² = a² - 2.a.b + b²
Exemplo 1: Defina .
Sabemos que essa expressão é um quadrado perfeito, então usando o produto notável temos:
Exemplo 2: Defina .
Sabemos que essa expressão é um quadrado perfeito, então usando o produto notável temos:
2. Diferença de quadrados: Tome a diferença de dois quadrados a² - b², podemos fazer uma pequena manipulação sem alterar a expressão:
a² - b² = a² - b² + a.b - a.b
Fatorando por agrupamento, temos:
a² - b² = a² + a.b - b² - a.b
a² - b² = a.(a + b) - b.(b + a)
a² - b² = (a + b).(a - b)
Observação: A diferença de dois quadrados é um dos produtos notáveis mais utilizados. E ele só é válido para a diferença.
Exemplo 1: Fatore 4k² - 916.
Temos uma diferença de quadrados, então:
4k² - 916 = (2k +34 ).(2k - 34)
Exemplo 2: Calcule o valor de 1001² - 999².
Como essa expressão é uma diferença de quadrados, então:
1001² - 999² = (1001 + 999).(1001 - 999)
1001² - 999² = 2000.2 = 4000
3. Cubo perfeito: Tome (a + b)³, sabemos que essa expressão pode ser escrita como:
(a + b)³ = (a + b).(a + b)²
Usando o produto notável do quadrado perfeito, temos:
(a + b)³ = (a + b).(a² + 2.a.b + b²)
Fazendo a distributiva:
(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Para (a - b)³ o processo é o mesmo e temos:
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Exemplo 1: Defina (2x + 4)³.
Como a expressão é um cubo perfeito, temos:
(2x + 4)³ = (2x)³ + 3(2x)²4 + 3.2x(4)² + 4³
(2x + 4)³ = 8x³ + 48x² + 96.x + 64
Exemplo 2: Defina (2x - y)³.
Como a expressão é um cubo perfeito, temos:
(2x - y)³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3.2x(y)² - y³
(2x -y)³ = 8x³ - 12x²y + 6.x.y² - y³