Resumo de matematica: Números Complexos II

Equações com números complexos. (Forma Geométrica e Forma Trigonométrica)

Além da forma algébrica para representação de um número complexo, $z=a+bi$ , podemos utilizar a forma geométrica e a forma trigonométrica. A forma geométrica utiliza um plano, parecido com o plano cartesiano, que chamamos de plano de Argand-Gauss, no qual colocamos no eixo x a parte real (a) do número complexo e no eixo y o coeficiente da parte imaginária (b). Por exemplo, o complexo $z=2+2i$ seria representado por:

Gráfico, Gráfico de dispersãoDescrição gerada automaticamente

A posição na qual colocamos o ponto é chamada de “Afixo”. Esta representação nos ajuda muito na construção de uma outra chamada de forma trigonométrica, na qual o número complexo $"z"$ é representado por:

$z=\rho \left ( cos(\theta) +isen(\theta ) \right )$ ,

sendo o módulo de $"z"$ , que encontramos fazendo $\rho =\sqrt{a^2+b^2}$ , e o argumento de $"z"$ , que encontramos fazendo $tg(\theta )=\frac{b}{a}$ , mas muita atenção, pois existem sempre duas possibilidades para a tangente na 1ª volta do ciclo trigonométrico, portanto, é necessário de um pequeno esboço da forma geométrica para saber em que quadrante $"z"$ se encontra. No exemplo acima, temos:

$\rho =\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ e $tg(\theta )=\frac{b}{a}=\frac{2}{2}=1$ , ou seja, $0=45^{\circ}=4\,rad$ , pois o afixo de $"z"$ está no 1º quadrante. Assim, sua representação trigonométrica fica:

$z=2\sqrt{2}\left ( cos\left ( \frac{\pi }{4} \right )+isen\left ( \frac{\pi }{4} \right ) \right )$ .

Forma algébrica. Plano de Argand-Gauss: Coordenadas Retangulares e Coordenadas Polares. Forma trigonométrica. Operações na Forma Trigonométrica. (Multiplicação e Divisão - Forma Trigonométrica)

A multiplicação de números complexos na forma algébrica é muito simples, bastando aplicarmos a propriedade distributiva, ou seja, “todos do primeiro vezes todos do segundo”, por exemplo:

$(3-i)\cdot (2+i)=6+3i-2i-i^2=6+i+1=7+i$ .

Da mesma forma, a divisão também é bem simples, bastando multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, pois a ideia é tornar o denominador um número real, por exemplo:

$\frac{2+i}{1-i}=\frac{2+i}{1-i}\cdot \frac{1+i}{1+i}=\frac{2+2i+i+i^{2}}{1-i^2}=\frac{1+3i}{2}$ .

No caso de multiplicação e divisão de números complexos na forma trigonométrica, talvez o processo não seja tão intuitivo quanto na forma algébrica, mas continua sendo simples.
Sejam os complexos $z_1=\rho _1\left ( cos\left ( \theta _1 \right ) +isen\left ( \theta _1 \right )\right )$ e $z_2=\rho _2\left ( cos\left ( \theta _2 \right ) +isen\left ( \theta _2 \right )\right )$ , então:

$z_1\cdot z_2=\rho _1\cdot \rho _2\left ( cos\left (\theta _1+ \theta _2 \right ) +isen\left ( \theta _1+\theta _2 \right )\right )$
$\frac{z_1}{z_2} =\frac{\rho _1 }{\rho _2}\left ( cos\left (\theta _1- \theta _2 \right ) +isen\left ( \theta _1-\theta _2 \right )\right )$ .

Operações na Forma Trigonométrica. Multiplicação, Divisão, Potenciação e Radiciação. (Potência na Forma Trigonométrica)

Sabemos que para fazer o produto entre números complexos na forma trigonométrica devemos multiplicar seus módulos e somar seus argumentos. Com isso, se fizermos o produto de um número complexo por ele mesmo $"n"$ vezes, basta multiplicarmos seu módulo por ele mesmo $"n"$ vezes e somar seu argumento com ele mesmo $"n"$ vezes. Esta é a 1ª Lei de Moivre, que usamos para resolvermos potências de números complexos, ou seja, se

$z=\rho \left ( cos\left ( \theta \right ) +isen(\theta )\right )$ ,

então

$z^n=\rho \left ( cos\left (n\cdot \theta \right ) +isen(n\cdot \theta )\right )$

Por exemplo, se $z=2\left ( cos\left ( \frac{\pi }{6} \right ) +isen\left ( \frac{\pi }{6} \right )\right )$ , então

$z^6=2^6\left ( cos\left (6\cdot \frac{\pi }{6} \right ) +isen\left (6\cdot \frac{\pi }{6} \right )\right )=64\left ( cos\left ( \pi \right )+isen(\pi ) \right )$ .

Podemos inclusive, transformar este resultado que está na forma trigonométrica para a forma algébrica:

$z^6=64\left ( cos\left ( \pi \right )+isen(\pi ) \right )=64(-1+i\cdot 0)$ .

Solução de equações usando a forma trigonométrica. (Raízes Enésimas)

A 2ª Lei de Moivre trata do cálculo das raízes enésimas no conjunto dos números complexos.
Se $z=\rho (cos(\theta )+isen(\theta ))$ , então

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho} \left (cos\left (\frac{\theta +2k\pi }{n} \right )+isen\left (\frac{\theta +2k\pi }{n} \right )\right )$ .

Algumas observações para este resultado:

O valor de n é o valor como estamos acostumados a calcular raiz no conjunto dos números reais, ou seja, é apenas um resultado e positivo;
$"k"$ é um número natural, sendo que $0\leq k\leq (n-1)$ ;
A quantidade de raízes enésimas de um número complexo qualquer é sempre $"n"$ ;
Os afixos destas raízes no plano de Argand-Gauss são os vértices de um polígono regular de $"n"$ lados.

Por exemplo, quais são as raízes cúbicas de 8?
Passando $z=8$ para a forma trigonométrica, temos $z=8(cos(0)+isen(0))$ . Com isso, suas raízes cúbicas são:

$z_1=\sqrt[3]{8}\left (cos\left (\frac{0+2\cdot 0\cdot \pi }{3} \right )+isen \left ( \frac{0+2\cdot 0\cdot \pi }{3} \right ) \right )=2(cos(0)+isen(0))=2(1+i\cdot 0)=2$ ;
$z_2=\sqrt[3]{8}\left (cos\left (\frac{0+2\cdot 1\cdot \pi }{3} \right )+isen \left ( \frac{0+2\cdot 1\cdot \pi }{3} \right ) \right )=2\left (cos \left ( \frac{2\pi }{3} \right )+isen\left ( \frac{2\pi }{3} \right ) \right )=2\left (-\frac{1}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right )=-1+\sqrt{3}$ ;
$z_3=\sqrt[3]{8}\left (cos\left (\frac{0+2\cdot 2\cdot \pi }{3} \right )+isen \left ( \frac{0+2\cdot 2\cdot \pi }{3} \right ) \right )=2\left (cos \left ( \frac{4\pi }{3} \right )+isen\left ( \frac{4\pi }{3} \right ) \right )=2\left (-\frac{1}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right )=-1-\sqrt{3}$

Solução de equações usando a forma trigonométrica. (Exercícios Resolvidos)

A potência de número complexo pode ser resolvida na forma algébrica ou na forma trigonométrica (1ª Lei de Moivre). Em situações nas quais o complexo está na forma algébrica e sua potência é 2 ou 3, resolve-se normalmente como em produto notável, por exemplo:

$(2+i)^{2}=4+4i+i^2=3+4i$ .

Mas no caso de números complexos dados na forma trigonométrica ou em casos nos quais a potência é um número “grande”, a 1ª Lei de Moivre torna-se mais vantajosa (rápida), por exemplo, se $z=1+i$ , quanto é $z^{20}$ ?
Inicialmente, vamos passar para a forma trigonométrica: $z=\sqrt{2}\left ( cos\left ( \frac{\pi }{4} \right ) +isen\left ( \frac{\pi }{4} \right )\right )$ . Agora vamos usar a 1ª Lei de Moivre:

$z^{20}=\sqrt{2}^{20}\left ( cos\left ( \frac{20\cdot \pi }{4} \right ) +isen\left ( \frac{20\cdot \pi }{4} \right )\right )$
$z^{20}=2^{10}\left ( cos\left ( 5\cdot \pi \right ) +isen\left (5\cdot \pi \right )\right )$
$z^{20}=2^{10}\left ( cos\left ( \pi \right ) +isen\left ( \pi \right )\right )$
$z^{20}=2^{10}\left ( -1+i\cdot 0\right )$
$z^{20}=2^{10}$ .

Exercícios Resolvidos

As raízes enésimas de um número complexo, formam os vértices de um polígono regular de “n” lados no plano de Argand-Gauss. Por exemplo, as raízes cúbicas de 27 formam os vértices de um triângulo equilátero. Para encontra-las, vamos usar a 2ª Lei de Moivre, passaando $z=27$ para a forma trigonométrica:

$z=27\left ( cos(0)+isen(0) \right )$ .

Com isso, temos que as raízes são:

$z_1=\sqrt[3]{27}\left ( cos\left ( \frac{0}{3} \right )+isen \left ( \frac{0}{3} \right )\right )=3\left ( cos(0) +isen(0)\right )=3$
$Z_2=\sqrt[3]{27}\left ( cos\left ( \frac{0}{3}+\frac{2\pi }{3} \right )+isen \left ( \frac{0}{3}+\frac{2\pi }{3} \right )\right )=3\left ( cos\left ( \frac{2\pi }{3} \right ) +isen\left (\frac{2\pi }{3} \right )\right )=-\frac{3}{2}+i\frac{3\sqrt{3}}{2}$
$Z_2=\sqrt[3]{27}\left ( cos\left ( \frac{0}{3}+\frac{2\pi }{3} \right )+isen \left ( \frac{0}{3}+\frac{2\pi }{3} \right )\right )=3\left ( cos\left ( \frac{2\pi }{3} \right ) +isen\left (\frac{2\pi }{3} \right )\right )=-\frac{3}{2}+i\frac{3\sqrt{3}}{2}$

No plano de Argand-Gauss, os afixos dessas raízes ficam como na figura abaixo.

Gráfico, Gráfico de linhasDescrição gerada automaticamente