Resumo de matematica: biru biru
Potenciação e Radiciação
Sumário
4.1. Divisão de potências de mesma base
Potenciação e Radiciação
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O que é potenciação: A potenciação é uma sucessão de multiplicações que pode ser escrita de maneira mais concisa.
1.1. Definição 1: Sejam a R, n N*e n>1. A potência a n é definida como o produto de n fatores iguais a a, ou seja,
a n=a.a.a.a.a.a. ... .a
n fatores
O número aé chamado é chamado de base e n expoente da potência a n.
|
(Base - Número que se repete)a n (Expoente - Quantidade de vezes que a base repete) |
Exemplo 1: Calcule o valor de 34. Nessa potência temos 3 como base e 4 como expoente. Então devemos multiplicar a base por ela mesmo 4 vezes.
3 4= 3 . 3 . 3 . 3 = 243
Exemplo 2: Calcule o valor de 28. Nessa potência temos 2 como base e 8 como expoente. Então devemos multiplicar a base por ela mesmo 8 vezes.
2 8= 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 256
1.2. Definição 2: O resultado de toda potência com expoente igual a 1 é a própria base.
a1=a
Exemplo 1: Calcule o valor de 98473628 1. Nessa potência temos 98473628como base e 1 como expoente. Então devemos multiplicar a base por ela mesmo 1 vez.
98473628 1= 98473628
Observação: a b b a
2 3 3 2
2. 2. 2 3. 3
8 9
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Propriedade Fundamental: Sejam n,m N* e a R.
a n . a m = (a.a.a. ... .a) . (a.a.a. ... .a)
n fatores m fatores
Ao todo temos n + m fatores, por isso:
a n . a m = a n + m
No produto de potências de mesma base, mantém a base e soma os expoentes.
Exemplo 1: Calcule o valor de 3 2. 3 4. Como são potências de mesma base, podemos simplesmente mantê-la e somar os expoentes.
3 2. 3 4 = 3 2 + 4 = 3 6 = 729
Exemplo 2: Calcule o valor de x 21. x 14. Como são potências de mesma base, podemos simplesmente mantê-la e somar os expoentes.
x 21. x 14 = x 21 +1 4 = x 35
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Definindo potências com expoentes não positivos (n 0):
3.1. Definição 3: Para n = 0 (expoente nulo) e a0, iremos utilizar a propriedade 1:
m = 0 a n . a0 = a n + 0=a n
a n . a0 = a n
a0 = a na n = 1
Com isso, podemos definir que qualquer número elevado a zero é um.
a 0 = 1
Exemplo 1: Calcule o valor de 787654356 0. Como o expoente é zero, podemos simplesmente:
787654356 0 = 1
Exemplo 2: Calcule o valor de abcde 0. Como o expoente é zero, podemos simplesmente:
abcde 0 = 1
3.2. Definição 4: Para n < 0 e a0, utilizaremos novamente a propriedade 1.
m = -n a n . a -n = a 0
a n . a -n = a 0 = 1
a -n = 1a n
Desse modo, definimos a -n como sendo o inverso de a n.
Exemplo 1: Calcule o valor de 2 -2. Essa potência será o inverso de 2 2.Então:
2 -2 = 12 2 = 14
Exemplo 2: Calcule o valor de 17-1. Essa potência será o inverso de 17.Então:
17-1= 7 1 = 7
Observação: Quando a base da potência é negativa todas as definições e propriedades são válidas, só é necessário atentar ao sinal. Observe:
(-3) 4= (-3) . (-3) . (-3) . (-3)
(-3) 4= 9 . 9 = 81
(-3) 5= (-3) . (-3) . (-3) . (-3) . (-3)
(-3) 5= 9 . 9 . (-3)= 81 . (-3)
(-3) 5= 81 . (-3) = -243
Com isso, para a < 0 e a n com n N *, a potência terá resultado positivo se nfor par e resultado negativo se nfor ímpar.
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Propriedades gerais:
4.1. Divisão de potências de mesma base: Sejam n, m N e a R *.
a na m = a n . 1a m
a na m = a n . a -m = a n + (-m)
Desse modo,
a na m = a n -m
No quociente de duas potências de mesma base, mantém a base e subtrai os expoentes.
Exemplo 1: Calcule o valor de 3 43 2. Como são potências de mesma base, podemos simplesmente mantê-la e subtrair os expoentes.
3 43 2 = 3 4 - 2 = 32 = 3. 3 = 9
Exemplo 2: Calcule o valor de x 14x 21. Como são potências de mesma base, podemos simplesmente mantê-la e subtrair os expoentes.
x 14x 21 = x 14 - 21 = x -7 =1x 7
4.2. Potência de potência: Sejam n, m N e a R.
(a n) m = a n . a n . a n . ... . a n
m fatores
(a n) m = a n + n + n + ... + n (m vezes)
Desse modo,
(a n) m = a n . m
Na potência de uma potência, mantém a base e multiplica os expoentes.
Exemplo 1: Calcule o valor de 34 2. Nesse caso podemos usar a propriedade de potência de potência.
34 2= 3 4 . 2 = 3 8 = 6561
Exemplo 2: Calcule o valor de 5 18 0. Nesse caso podemos usar a propriedade de potência de potência.
518 0= 5 18 . 0 = 5 0 = 1
Observação 1: A propriedade de potência de potência também é válida para expoentes negativos.
n, m N (a - n) m = 1a nm = 1 ma m . n = 1a m . n = a - n . m
(a -n) m = a - n . m
Observação 2: (a n) m a n m, pois:
(a n) m = a n . m = a . a . a . ... . a
n . m fatores
a n m = a n . n . n . n . ... . n (m vezes) = a . a . a . ... . a
n m fatores
a n . m a . a . a . ... . a
n m fatores
4.3. Potência de um produto: Sejam n N e a, b R.
(a . b) n = (a . b) . (a . b) . (a . b) . ... . (a . b)
n fatores
(a . b) n = (a . a . a . ... . a) . (b . b . b . ... . b)
n fatores n fatores
Desse modo,
(a . b) n = a n . b n
A potência de um produto é o produto das potências.
Exemplo 1: Calcule o 25. 1232. Nesse caso vamos utilizar a propriedade de potência do produto.
25. 1232 = 2 5 . 2 . 1 23 . 2 = 2 10. 1 46= 1024 . 1 = 1024
Exemplo 2: Calcule o 2. x22. Nesse caso vamos utilizar a propriedade de potência do produto.
2. x22 = 21 . 2. x 2 .2 = 2 2. x4 = 4x4
4.4. Potência de um quociente: Sejam n N, b 0 e a, b R.
ab n = ab . ab . ab . ... . ab
n fatores (a e b)
ab n = a . a . a . ... . ab . b. b . ... .b
Desse modo,
ab n = a nb n
A potência de um quociente é o quociente das potências.
Exemplo 1: Calcule o valor de 232. Nesse caso usaremos a propriedade de potência de um quociente.
232 = 2 23 2 = 49
Exemplo 2: Calcule o valor de x333. Nesse caso usaremos a propriedade de potência de um quociente.
x333 = x 3. 33 3 = x 927
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Radiciação: A radiciação é a operação inversa à potenciação. Toda raiz possui um índice, um radicando e uma raiz, que é o resultado dessa operação, como mostra abaixo:
(índice) na (Radicando) m (Expoente) = b (Raiz)
Toda raiz pode ser escrita como uma potência com o expoente fracionário.
na k= b a k = b n
a k= a kn . n = a kn n
naknn = a kn = b
Desse modo,
na k= akn
|
ak (Expoente do radicando)n (Índice da Raiz) |
Exemplo 1: Calcule o valor de 332. Sabemos que uma potência com o expoente fracionário nada mais é do que uma raiz. Então:
332 = 233 = 2 27 =3. 23
Exemplo 2: Calcule o valor da raiz 5710.
5710= 7 105 = 7 2 = 49
Iremos dividir a radiciação em duas partes: Raízes com índices pares e raízes com índices ímpares.
5.1. índice par: Seja a R + * e n N *com n>1 . A raiz enésima (raiz com índice n) de a é b, quando elevamos ba n e encontramos a.
na= b, então bn = a
Exemplo 1: Calcule o valor da raiz sexta de 729.
6729 = 636 = 3
Exemplo 2: Calcule o valor da raiz quarta de -16.
4-16
Essa raiz quarta não possui raiz real, pois não existe raiz com índice par de um número negativo.
5.2. índice ímpar: Seja a R * e n N *com n>1. A raiz enésima (raiz com índice n) de a é b, quando elevamos ba n e encontramos a.
na= b, então bn = a
Exemplo 1: Calcule o valor da raiz terça de 125.
3125 = 353 =5
Exemplo 2: Calcule o valor da raiz quinta de -32.
5-32 = 5-25 = -2
5.3. Propriedades: Abaixo estão algumas propriedades básicas de radiciação:
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n0= 0
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n1= 1
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na n= a
Observação: Independente do número real a, existe somente uma única raiz enésima, indicada por:
na= b
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Expoente irracional: As potências com expoentes irracionais são resolvidas da mesma maneira que as potências com expoentes racionais. Todas as definições e propriedades são válidas e podem ser usadas. A única diferença é que as potências de expoentes irracionais são feitas por meio de aproximações.
Exemplo 1: Calcule o valor de 3 7. Sabemos que 7 2,64575131...Vamos considerar 7 2,64, então:
3 7 3 2,64 = 18,1802609
Se considerarmos 7 2,6457, então:
3 7 3 2,6457 = 18,2944646
Quanto mais casas decimais usarmos para fazer o cálculo, mais aproximado será o valor da minha potência.
Exemplo 2: Calcule o valor de (232)3. Antes de calcularmos o valor aproximado da 3, vamos simplificar as potências:
233 2 . 3 = 233 2 3
Agora que já reduzimos ao máximo nossas potências, vamos calcular o valor aproximado delas:
3 1,732
Então,
(232)3 21,7323 2. 1,732 = 21,7323 3,464 = 3,321880144,9518972 = 0,07389855