Resumo de matematica: Potenciação

Potenciação

Podemos dizer que potenciação representa uma multiplicação de fatores iguais, se temos a seguinte multiplicação: 3 x 3 x 3 x 3, podemos representá-la usando a potência 34, onde 3 é a base e 3 o expoente (Leia: três elevado a quarta potência).

O expoente possui um papel fundamental na potenciação, pois ele é quem define quantas vezes a base será multiplicada por ela mesma. Observe:

2⁶ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

4³ = 4 x 4 x 4 = 64

5³ = 5 x 5 x 5 x 5 = 625

10³ = 10 x 10 x 10 = 1000

12² = 12 x 12 = 144

3⁵ = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

6² = 6 x 6 = 36

OBSERVAÇÃO

Base negativa e expoente ímpar, resultado negativo.

Exemplos

(-3)³ = (-3) x (-3) x (-3) = - 27

(-4)⁵ = (-4) x (-4) x (-4) x (-4) x (-4) = - 1024

(-2)⁷ = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 128

Base negativa e expoente par, resultado positivo.

Exemplos

(-1)⁴ = (-1) x (-1) x (-1) x (-1) = + 1

(-5)² = (-5) x (-5) = + 25

(-9)² = (-9) x (-9) = + 81

Casos particulares

I. Todo número diferente de zero e elevado a zero é um.

Exemplos

2⁰ = 1
3⁰ = 1
10⁰ = 1
4⁰ = 1
(– 5)⁰ = 1

II. Todo número diferente de zero e elevado a um é o próprio número.

Exemplos

3¹ = 3
4¹ = 4
12¹ = 12
15¹ = 15
10000¹ = 10000

III. Base zero e qualquer número no expoente, o resultado será zero.

Exemplos

0⁵ = 0
0¹⁰ = 0
0¹⁰⁰ = 0
0⁸ = 0
0³⁰ = 0

PROPRIEDADES DA POTÊNCIA

a) Potência do expoente negativo

$a^{-n }= \frac {1}{a^n}$
Ex.: $1^{-3 }= \frac {1}{2^3} = \frac 18$

b) Potência de uma fração

$(\frac ab)^n = \frac {a^n}{b^n}$
Ex.: $(\frac 23)^4 = \frac {2^4}{3^4}$

c) Potência de expoente fracionário

$a^{\frac bc} = \sqrt [c]{a^b}$
Ex.: $3^{\frac 12} = \sqrt [2]{3^1} = \sqrt 3$

→ Operações entre Potências

a) Adição ou Subtração

(1º Caso) Potências semelhantes

Exemplos:

1) $3a^2 + 7a^2 - 4a^2 = a^2 \cdot (3 + 7 -4) = 6a^2$

2) $3^{12} + 3^{12} + 3^{12} = 3^{12} \cdot (1 + 1 + 1) = 3^{12} \cdot 3 = 3^{13}$

(2º Caso) Potências de mesma base

Exemplos:

1) $4^4 + 4^3 - 4^4 = 4^2 \cdot ( 4^2 + 4 - 1) = 19 \cdot 4^2 = 304$

2) $3a^2- 5a^5 + 7a^ 4 = a^2\cdot (3 - 5a^3 + 7a^2)$

b) Produto

$a^m \cdot a^n = a ^{(m+n)}$
Exemplos:

1) $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$

2) $a^ 2 \cdot a^{-5} \cdot a^7 = a^4$

c) Divisão

$\frac {a^m}{a^n} = a ^{m-n}$

Exemplos:

1) $\frac {2^{12}}{2^4} =2 ^{12-4} = 2^8$

2) $\frac {a^{5}}{a^{-3}} =a ^{5+3} = a^8$

d) Potência de potência

$(a^m)^n = a^{(m \cdot n)}$
Exemplo:

$(2^3)^2 = 2^{(3 \cdot 2)} = 2^6$

e) Potência de produto

$(a \cdot b)^a = a ^n \cdot b ^n$
Exemplo:

$(2 \cdot x)^3 = 2 ^x \cdot x ^3 = 8x^3$

POTÊNCIAS DE 10

As potências de base 10 são talvez as potências mais importantes, pois são muito usadas no estudo de outras ciências, como é o caso da Física.
Vamos ver o que acontece quando operamos a base 10:

10⁰ = 1
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1.000
10⁴= 10.000
10⁵ = 100.000
.
.
.
10ⁿ = 1000...00

As potências de base 10 são formadas pelo algarismo 1 seguido de zeros da quantidade do número do expoente. Se quisermos representar a potência de 10³², teremos o número 1 seguido de trinta e dois zeros. Portanto, a potência 10n é formada pelo algarismo 1 seguido de n-vezes o algarismo 0.
Se tivermos o expoente negativo, basta que coloquemos esse resultado no denominador de uma potência cujo numerador é o 1. Podemos ainda escrevê-lo na forma decimal, sendo que o número do expoente indica a quantidade de dígitos após a vírgula. Por exemplo:
$10^{-1}=\frac 1{10}=0,1$
$10^{-2}=\frac 1{100}=0,01$
$10^{-3}=\frac 1{1000}=0,001$
$10^{-4}=\frac 1{10000}=0,0001$

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

A notação científica é uma forma de escrever números usando potência de 10. É utilizada para reduzir a escrita de números que apresentam muitos algarismos.
Números muito pequenos ou muito grandes são frequentemente encontrados nas ciências em geral e escrever em notação científica facilita fazer comparações e cálculos.

Um número em notação científica apresenta o formato NC = m x 10k, com 1 ≤ m < 10 e k inteiro.

Exemplos
a) $7 890 000 000 000 000 = 7,89 \cdot 10^{15 }$
b) $0, 000000000035 = 3,5 \cdot 10 ^{- 11 }$

Transformar um número em notação científica Veja abaixo como transformar os números em notação científica de forma prática:

1º Passo: Escrever o número na forma decimal, com apenas um algarismo diferente de 0 na frente da vírgula.
2º Passo: Colocar no expoente da potência de 10 o número de casas decimais que tivemos que "andar" com a vírgula. Se ao andar com a vírgula o valor do número diminuiu, o expoente ficará positivo, se aumentou o expoente ficará negativo.
3º Passo: Escrever o produto do número pela potência de 10.

ORDEM DE GRANDEZA
Ordem de grandeza de uma medida é uma estimativa de potência de base 10 mais próxima de uma determinada medida.

Para encontrar a Ordem de Grandeza de um número, deveremos:
1° Passo: Escrever o número em Notação Científica (NC = m x 10^k, com 1 ≤ m < 10 e k inteiro).

2º Passo REGRA 1
Se m ≥ 3,16, então a OG = 10^{k + 1}
Se m < 3,16, então a OG = 10^k

2º Passo REGRA 2
Se m ≥ 5,5, então a OG = 10^{k + 1}
Se m < 5,5, então a OG = 10^k

OBSERVAÇÃO

As questões de provam precisam apresentar bom censo e não colocar valores para 3,16 ≤ m ≤ 5,5, pois iria tornar as regras inconsistentes.

DICAS

1. Quando um número puder ser escrito como uma potência de 10 sua fatoração poderá ser realizada utilizando as propriedades da potenciação.

Ex:

9 000 000 000 000 = 9 . 10¹²
= 3² . (2 . 5)¹²
= 3² . 2¹² . 5¹²
= 2¹² . 3² . 5¹²

2. Não existe propriedades da potenciação para soma de potências de mesma base. Mas, essa soma poderá ser realizada obtida multiplicando a potência por sua quantidade.

Ex:

3⁵ + 3⁵ + 3⁵ + 3⁵ + 3⁵ + 3⁵ + 3⁵ + 3⁵ + 3⁵ = 9 . 3⁵
= 3² . 3⁵

= 3⁷

3. As propriedades das potências geralmente são utilizadas na ordem como aprendemos, mas, por ser uma igualdade, poderão utilizadas de forma conveniente no sentido contrário.

Ex:

a) 2 ^{m + n} = 2^m . 2ⁿ
b) $3^ {x - y} =\frac { 3x}{3y}$

4. Em algumas questões, as equações não precisam ser resolvidas completamente, pois parte delas já poderá responder o que se pede.

Ex:

Calcule o valor de 2x na igualdade 8^x = 125.

(2³)^x = 5³
(2^x)³ = 5³
2^x = 5 Resposta