Resumo de matematica: Radiciação

Radiciação

Por: Aline Ribeiro

A radiciação é a operação inversa à potenciação. Toda raiz possui um índice, um radicando e uma raiz, que é o resultado dessa operação,

como mostra abaixo:

$\sqrt[(indice) \;n]{a_{(Radicando)}^{m \;(Expoente)}} = b \;(Raiz)$

Toda raiz pode ser escrita como uma potência com o expoente fracionário.

$\sqrt[n]{a^{k}}=b\;\leftrightarrow \;a^{k}=b^{n}$

$a^{k}=a^{\frac{k}{n}\cdot n}=\left ( a^{\frac{k}{n}} \right )^{n}$

$\sqrt[n]{\left ( a^{\frac{k}{n}} \right )^{n}}=a^{\frac{k}{n}}=b$

Desse modo,

$\sqrt[n]{ a^{k} }=a^{\frac{k}{n}}$

$a^{\frac{k \;(Expoente\;do\;radicando)}{n\;(indice\;da\;raiz)}}$

Exemplo 1: Calcule o valor de $3^{\frac{3}{2}}$ . Sabemos que uma potência com o expoente fracionário nada mais é do que uma raiz. Então:

$3^{\frac{3}{2}}=\sqrt[2]{3^{3}}=\sqrt[2]{27}=3\cdot \sqrt[2]{3}$

Exemplo 2: Calcule o valor da raiz $\sqrt[5]{7^{10}}$ .

$\sqrt[5]{7^{10}}=7^{\frac{10}{5}}=7^{2}=49$

Iremos dividir a radiciação em duas partes: Raízes com índices pares e raízes com índices ímpares.

1. índice par: Seja $a\;\epsilon \;\mathbb{R}_{+}^{*}$ e $n\;\epsilon\; \mathbb{N}^{*}$ com $n> 1$ . A raiz enésima (raiz com índice n) de a é b, quando elevamos b a n encontramos a.

$\sqrt[n]{a}=b$ , então $b^{n}=a$

Exemplo 1: Calcule o valor da raiz sexta de 729.

$\sqrt[6]{729}=\sqrt[6]{3^{6}}=3$

Exemplo 2: Calcule o valor da raiz quarta de -16.

$\sqrt[4]{-16}$

Essa raiz quarta não possui raiz real, pois não existe raiz com índice par de um número negativo.

2. índice ímpar: Seja $a\;\epsilon \;\mathbb{R}^{*}$ e $n\;\epsilon \;\mathbb{N}^{*}$ com $n> 1$ . A raiz enésima (raiz com índice n) de a é b, quando elevamos b a n encontramos a.

$\sqrt[n]{a}=b$ , então $b^{n}=a$

Exemplo 1: Calcule o valor da raiz terça de 125.

$\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^{3}}=5$

Exemplo 2: Calcule o valor da raiz quinta de -32.

$\sqrt[5]{-32}=\sqrt[5]{(-2)^{5}}=-2$

3. Propriedades: Abaixo estão algumas propriedades básicas de radiciação:

- $\sqrt[n]{0}=0$

- $\sqrt[n]{1}=1$

- $\sqrt[n]{a^{n}}=a$

Observação: Independente do número real a, existe somente uma única raiz enésima, indicada por:

$\sqrt[n]{a}=b$