Resumo de matematica: Radiciação

RADICIAÇÃO

Sendo a $\epsilon$ R₊ e n $\epsilon$ N, existirá sempre um número b tal que: bⁿ = a. Denominaremos b como raiz n-ésima de a e representaremos por:

$b=\sqrt [n]a$ , onde a = radicando, b = raiz e n = índice

Atenção
Se n = par: $\exists \sqrt [n]a = b \Leftrightarrow a\ \epsilon\ R_+ \ e \ b\ \epsilon\ R_+$

Se n = ímpar: $\exists \sqrt [n]a = b \Leftrightarrow \forall a\ \epsilon\ R\ e \ b\ \epsilon\ R$

Exemplo: $\sqrt {16}=4$
$\sqrt [3]{-8} = -2$
$\sqrt {-16} \not{\epsilon } R$
PAR negativo R

OBSERVAÇÕES

I. $\sqrt [2]x= \sqrt x$

II. $\sqrt [n]x$ quando existe é única.

III. $\sqrt {x^2}=|x|$

PROPRIEDADES DOS RADICAIS

Se a $\epsilon$ R₊, b $\epsilon$ R*₊, m $\epsilon$ Z, n $\epsilon$ N* e p $\epsilon$ N*

1ª Propriedade

$(\sqrt [n]a)^m = \sqrt [n]{a^m}$

Exemplo: $(\sqrt [3]2)^4 = \sqrt [3]{2^4} = \sqrt [3]{2^3 \cdot 2} = 2 \sqrt [3]2$

2ª Propriedade

$\sqrt [n]a \cdot \sqrt [n]b = \sqrt [n]{a\cdot b}$

Exemplo: $\sqrt [3]2 \cdot \sqrt [3]6 = \sqrt [3]{2\cdot 6}$

3ª Propriedade

$\frac {\sqrt [n]a}{\sqrt [n]b}=\sqrt [n] {\frac ab}$

Exemplo: $\frac {\sqrt 8}{\sqrt 2}=\sqrt {\frac 82} = \sqrt 4 = 2$

4ª Propriedade

$\sqrt [n]{a^n} = a$

Exemplo: $\sqrt [5]{32} = \sqrt [5]{2^5} = 2$

5ª Propriedade

$\sqrt [m]{\sqrt [p]a} = \sqrt [m \cdot p] a$

Exemplo: $\sqrt [3]{\sqrt 5} = \sqrt [3 \cdot 2] 5 = \sqrt [6]5$

6ª Propriedade

$\sqrt [n]{a^m} = \sqrt [n \cdot p ] {a^{m \cdot p}}$

Exemplo: $\sqrt [3]{a^2} = \sqrt [3 \cdot 5 ] {(a^2)^5} = \sqrt [15]{a^10}$

POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL

nam=amn, sendo a R+, m, n Z e n ≥ 1

Exemplos:

a) 125 13= 31251=3125=353=5

b) 10 27=7102=7100

PROPRIEDADES – POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL

P1) $a ^{\frac mn} \cdot a^{\frac pq}=a^{\frac mn + \frac pq}$

P2) $a ^{\frac mn} : a^{\frac pq}=a^{\frac mn - \frac pq}$

P3) $(a ^{\frac mn}) ^{\frac pq}=a^{\frac mn \cdot \frac pq}$

P4) $(a \cdot b) ^{\frac mn}=a^{\frac mn} b^{\frac mn}$

P5) $(\frac a b) ^{\frac mn}=\frac {a^{\frac mn}}{b^{\frac mn}} \ , \ b \neq 0$

SIMPLIFICAÇÕES COM RADICAIS

As simplificações serão possíveis sempre que o expoente da potência do radicando for maior ou igual ao índice.

Exemplos

a) $\sqrt [4]{32} = \sqrt [ 4] {2^5} = \sqrt [4]{2 ^4 \cdot 2 ^1} = 2 \sqrt [4]2$

b) $\sqrt [3]{62} = \sqrt [ 3] {2^6} = \sqrt [3]{2 ^3 \cdot 2 ^3} = 2 \cdot 2 = 4$

INTRODUÇÃO NOS RADICAIS

A introdução dos números que estiverem multiplicando o radical será feita elevando o número ao índice.

Exemplos

a) $2 \sqrt [3]5 = \sqrt [3] {2^3 \cdot 5} = \sqrt [3]{40}$

b) $a \sqrt [4]{a^3} = \sqrt [4] {a^4 \cdot a^3} = \sqrt [4]{a^7}$

RADICAIS SEMELHANTES

Dois ou mais radicais são ditos semelhantes quando apresentam o mesmo índice e o mesmo radicando.

Exemplos de radicais semelhantes: $2 \sqrt[ 3]5$ e $7\sqrt[ 3]5$

OPERAÇÕES COM RADICAIS

I) Adição ou subtração

Para subtrair ou adicionar radicais semelhantes, fazemos de forma análoga às expressões algébricas. –

Exemplos

a) $2 \sqrt[ 3]5 + 7 \sqrt[3]5 = (2+7) \sqrt [3]5 = 9 \sqrt [3]5$
b) $2 \sqrt[ 3]5 - 7 \sqrt[3]5 = (2-7) \sqrt [3]5 = -5 \sqrt [3]5$

OBSERVAÇÃO

Quando os radicais não são semelhantes e também não podem ser reduzidos a radicais semelhantes, a adição e a subtração, na forma de radicais, ficam indicadas.

Exemplo: $5 \sqrt[ 3]2 + 4 \sqrt[3]7$ → Os radicandos são diferentes.

II) Multiplicação

Para multiplicar os radicais utilizaremos a propriedade: $\sqrt [n]a \cdot \sqrt [n]b = \sqrt [ n]{a \cdot b}$

Exemplos

a) $\sqrt [5]2 \cdot \sqrt [5]7 = \sqrt [ 5]{2 \cdot 7} = \sqrt [5]{14}$

b) $4\sqrt [3]5 \cdot 7\sqrt [3]2 =4\cdot 7 \cdot \sqrt [ 3]{5 \cdot 22} =28 \sqrt [3]{10}$

III) Divisão

Para multiplicar os radicais utilizaremos a propriedade: $\frac {\sqrt [n]a}{\sqrt [n]b} = \sqrt [n ]{\frac ab}$ , com b ≠ 0.

Exemplos

a) $\frac {\sqrt [5]{18}}{\sqrt [5]2} = \sqrt [5 ]{\frac {18}2} = \sqrt [5]9$

b) $\frac {\sqrt [6]{96}}{\sqrt [3]2} = \sqrt [5 ]{\frac {96}2} = \sqrt [3]{48}= \sqrt [3]{2^3 \cdot 2 \cdot 3} = 2 \sqrt[3]6$

RACIONALIZAÇÃO

É o processo que permite mudar o “ambiente” do radical numa fração. Se por acaso o radical estiver no numerador ele passará para o denominador e se estiver no denominador, o mesmo passará para o numerador.

(1° caso)
Quando a expressão em forma de fração apresenta no denominador apenas um radical de índice dois (raiz quadrada).

$\frac {m}{\sqrt a} = \frac {n}{\sqrt a } \cdot \frac {\sqrt a}{\sqrt a}$ , com a $\epsilon$ R₊

Exemplo

$\frac {2}{\sqrt 3} = \frac {2}{\sqrt 3 } \cdot \frac {\sqrt 3}{\sqrt 3} = \frac {2\sqrt 3}{3}$

(2° caso)
Quando a expressão em forma de fração apresenta no denominador apenas um radical de índice maior que dois.

$\frac {n}{\sqrt [x]{a^y}} = \frac {n}{\sqrt [x]{a^y}} \cdot \frac {\sqrt [x]{a^{x-y}}}{\sqrt [x]{a^{x-y}}} = \frac {n\sqrt [x]{a^{x-y}}}{\sqrt [x]{a^{y + x-y}}} = \frac {n\sqrt [x]{a^{x-y}}}{\sqrt [x]{a^{x}}} = \frac {n\sqrt [x]{a^{x-y}}}{a}$ , com a R+

Exemplo

$\frac {b}{\sqrt [5]{a^2}} = \frac {b}{\sqrt [5]{a^2}} \cdot \frac {\sqrt [5]{a^{5-2}}}{\sqrt [5]{a^{5-2}}} = \frac {b\sqrt [5]{a^{3}}}{\sqrt [5]{a^{2 + 5-2}}} = \frac {b\sqrt [5]{a^{3}}}{\sqrt [5]{a^{5}}} = \frac {b\sqrt [5]{a^{3}}}{a}$

(3° caso)
Quando a expressão em forma de fração apresenta no denominador a adição ou a subtração de radicais de índice dois, podendo ser também um radical e um número sem radical.

$\frac {n}{\sqrt a + \sqrt b} = \frac {n}{\sqrt a + \sqrt b} \cdot \frac {{\sqrt a - \sqrt b}}{{\sqrt a - \sqrt b}} = \frac {n(\sqrt a - \sqrt b)}{(\sqrt a)^2 - (\sqrt b)^2} = \frac {n(\sqrt a - \sqrt b)}{a - b}$ .

Exemplo

$\frac {8}{\sqrt 3+ 1} = \frac {8}{\sqrt 3 +1} \cdot \frac {{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac {8(\sqrt 3 - 1}{(\sqrt 3)^2 - 1} = \frac {8(\sqrt 3 -1)}{3 - 1} = 4 \cdot (\sqrt 3 -1 )$