Resumo de matematica: Sequências - Progressão Aritmética

PA - Definição, Termo Geral e Propriedade da Média Aritmética

Definimos Progressão Aritmética (PA) como qualquer sequência numérica na qual todo termo, a partir do segundo, é obtido pela soma do termo anterior com uma constante, que chamamos de razão. Por exemplo, a sequência (9, 5, 1, -3, -7, ...) possui razão igual a – 4, pois cada termo, a partir do segundo, é obtido somando – 4 ao termo anterior. Neste exemplo, a razão é negativa e, consequentemente, a PA é decrescente; caso fosse positiva, a PA seria crescente; e, caso fosse zero, a PA seria constante.

Em problemas que envolvem PA, é muito comum a busca por um termo bem distante dos termos iniciais. Para isto, temos a fórmula do Termo Geral, que nos possibilita encontrar qualquer termo da PA, dados a razão e o primeiro termo. Esta fórmula é:

$a_n= a_1+(n-1)r$ ,

na qual a1 é o primeiro termo, r é a razão e an é o termo que está na posição n.

PA - Exemplos resolvidos sobre Termo Geral e Propriedade da Média Aritmética

Algumas propriedades são muito importantes para a resolução de problemas que envolvem PA. Uma delas é a relação entre três números consecutivos: o termo do meio é a média aritmética entre os termos dos extremos, ou seja, seja (a, b, c) uma PA, então

$b=\frac{a+b}{2}$ .

Outra maneira de representar três números em PA é $(x-r,x,x+r)$ . No caso de quatro termos consecutivos em PA, a representação é

$(x-3k,x-k,x+k,x+3k)$ ,

na qual a razão é 2k. E cinco termos em PA representamos por

$(x-2r,x-r,x+r,x+2r)$

PA - Interpolacao Aritmetica - Soma dos termos equidistantes dos extremos - Soma dos n primeiros termos de uma PA

A soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética, $S_n$ , é

$S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}$ ,

na qual $a_1$ e $a_n$ são, respectivamente, primeiro e último termo desta soma. Isto ocorre pois a soma de termos equidistantes dos extremos é constante e igual à soma do primeiro e último termos. Com isso, teremos esta soma constante a metade do número de termos vezes.

Por exemplo, na PA (1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55), a soma de todos os termos podem ser encontrada multiplicando (1 + 55) pela metade do número de termos, pois

$1 + 55 = 7 + 49 = 13 + 43 = 19 + 37 = 25 + 31,$

e o número de parcelas passa a ser a metade do número de termos, ou seja, 5 parcelas. É importante entender que esta fórmula também é válida para uma quantidade ímpar de termos, pois, mesmo sobrando um termo, que será o termo central, ele é a metade da soma dos extremos e será contado “meia” vez na soma dos pares.

PA - Exercícios resolvidos - Parte 1

Interpolação Aritmética significa inserir números entre dois números, de maneira que seja formada uma Progressão Aritmética, por exemplo, entre 1 e 81, quantos números devem ser inseridos para que tenhamos uma PA de razão 5? Perceba que, como queremos uma sequência numérica que seja uma PA, os extremos dessa PA são $a_1$ e $a_n$ , que, no nosso exemplo, são 1 e 81, respectivamente.
Assim, usando a Fórmula do Termo Geral, temos:

$a_n=a_1+(n-1)r$

$81=1+(n-1)\cdot5$

$80=(n-1)\cdot5$

$16=(n-1)$

$n=17$

Agora, é muito importante, interpretarmos este resultado encontrado. Não queremos saber o total de termos dessa PA, que é 17, mas sim, a quantidade de termos que devemos inserir entre 1 e 81, ou seja, são apenas 15. Com isso, concluímos, que a quantidade de termos interpolados é sempre $(n-2)$ .

PA - Exercícios resolvidos - Parte 2

Em alguns problemas envolvendo Progressão Aritmética, é comum termos que utilizar as duas principais fórmulas em sequência:

$a_n= a_1+(n-1)r$ e $S_n=\frac{(a_1+ a_n)n}{2}$ ,

que são a fórmula do Termo Geral e a Soma do n primeiros termos de uma PA, respectivamente.

Por exemplo, qual o número de termos da PA $(3, 6, 9, 12, ..., a_n)$ , cuja soma dos termos é 630? Inicialmente, usando a fórmula do Termo Geral, temos

$a_n= a_1+(n-1)r=3+(n-1)3=3n$ .

Agora, vamos utilizar a fórmula da Soma dos n primeiros termos:

$S_n=\frac{(a_1+ a_n)n}{2}$
$630=\frac{(3+3n)n}{2}$
$1260 = 3(1+n)n$
$420=(1+n)n$
$21 \cdot 20=(1+n)n$
$n=20$

Portanto, esta PA tem 20 termos.